Congruencia

Páginas: 2 (364 palabras) Publicado: 21 de mayo de 2012
Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros  y  tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo; esto se expresautilizando la notación

que se expresa diciendo que  es congruente con  módulo . Las siguientes expresiones son equivalentes:
*  Es congruente con  módulo 

* El resto de  entre  es el restode  entre 

*  divide exactamente a la diferencia de  y 

*  se puede escribir como la suma de  y un múltiplo de 

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramentediferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo  y cada entero  no divisible por tenemosla congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sussoluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por  y , es decir  puede ser cualquier entero de lassucesiones  y . Contrariamente la congruencia , no tienesolución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en losque podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientesen un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
-------------------------------------------------[editar]Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna:
* La congruencia para un módulo fijo  es una relación de equivalencia ya que severifican las propiedades:
1. reflexividad: 
2. simetría: si  entonces también 
3. transitividad: si  y  entonces también .
* Si  es coprimo con  y , entonces  también es coprimo con ....
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