Congruencias

CONGRUENCIAS
1. Definición. Sea n( N. Dos enteros a y b se dicen congruentes módulo n si n divide a a−b, es decir, si existe k ( N tal que a − b = kn. En este caso denotaremos a(b (mod n).
2. Definición. Se dice que un conjunto de n enteros {a1..., an} es un sistema completo de residuos módulo n si todo entero es congruente módulo n a exactamente uno de los ai. Por ejemplo, {−12,−4, 11,13, 22, 82, 91} es un sistema completo de residuos módulo 7. El conjunto {0, 1, ..., n − 1} se dice que es el menor sistema de residuos positivos módulo n.
3. Proposición. a(b (mod n) si y sólo si a y b dejan el mismo resto positivo al dividirlos por n.


4. Proposición. Sean n( N, a, b, c, d ( Z. Se tiene:
1. a ( a (mod n)
2. a ( b (mod n) ( b ( a (mod n)3. a ( b (mod n), b (c (mod n) ( a (c (mod n)
4. a ( b(mod n), c ( d (mod n) ( a + c ( b + d (mod n), y ac ( bd (mod n)
5. a (b (mod n) ( a + c ( b + c (mod n), y ac ( bc
(mod n).

6. a ( b (mod n) ( ak ( bk (mod n) ( k ( N.

Las tres primeras propiedades nos dicen que la relación a ( b (mod n) es de equivalencia en Z. El conjuntocociente de Z por esta relación de equivalencia se suele denotar Zn. Las demás propiedades implican que la suma y el producto en Z inducen al pasar al cociente una suma y un producto en Zn que dotan a este conjunto de una estructura de anillo conmutativo con n elementos. Además, puede verse que Zn es un cuerpo si y sólo si n es primo.

6. Teorema. Si ca ( cb (mod n) entonces a ( b (mod n/d),donde d = mcd(c, n).
7. Corolario. Si ca (cb (mod n) y mcd(c, n) = 1 entonces a
( b (mod n).
8. Corolario. Si ca ( cb (mod p), p es primo y no divide a c,
entonces a ( b (mod p).



NUMERACIÓN


Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números.

Números
Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten comocantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.


SISTEMAS NUMÉRICOS

En matemáticas, varios sistemas de notación que se hanusado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.


Valores posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función delos valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistemabinario
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.

La base o números que utiliza el sistema binario es 2, siendo éstos el 0 y el 1. Cada cifra o dígito deun número representado en este sistema se denomina bit (contracción de BInary digiT).
 
Para la medida de cantidades de información representadas en binarios se utilizan una serie de múltiplos del bit que poseen nombre propio; éstos son los siguientes:
• Nibble o cuarteto. Conjunto de cuatro bits
• Byte u octeto. Conjunto de 8 bits
• Kilobyte (KB). Conjunto de 1024 bytes (1024 *...