conicas y aplicaciones

Cónicas y Aplicaciones
Para poder hablar en si sobre las cónicas, debemos remontarnos a la Antigua Grecia, sobre los años 350 A.C con el descubrimiento de éstas por parte del matemático griego Menecmo y la descripción detallada por parte del matemático Apolonio (262-190 A.C.) de Perga, quien estudió las propiedades de las curvas cónicas.
SECCION CONICA: También conocida como curva cónica, estáengendrada por el giro de una recta g, generatriz (recta situada en el cono), alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por este. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.Asimismo, Apolonio, proveniente de la escuela alejandrina y guiado por el sabio Arquímedes, clasifico las secciones cónicas en tres tipos:
• Elipses.
• Hipérbolas.
• Parábolas.
ELIPSES: Proviene del término elipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada).
Su definiciónactual señala que la elipse es el conjunto de puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante, denominando foco al punto fijo. Se obtienen a partir de una sección cónica si el plano cortante no es paralelo a ninguna generatriz, además, existe un caso especial denominado circunferencia, la cual se forma si el plano cortante interseca a cada generatriz ytambién es perpendicular al eje del cono.

Tenemos primero el punto T(x, y), siendo cualquier punto de la elipse si y sólo si: Recta TF + Recta TF`= 2a.

HIPERBOLAS: En el griego antiguo significaba "avanzar más allá", se adoptó en términos de las cónicas para el caso en que el área excedía el segmento dado.
Actualmente se le denomina hipérbola al conjunto de puntos en un plano, tales que elvalor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante, los cuales se llaman focos. Se obtiene cuando un plano cortante interseca los dos mantos de un cono y es paralelo a dos generatrices.
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto mediode los focos) se llama centro de la hipérbola.

PARABOLAS: La palabra parábola en los tiempos de Apolonio tenía como significado "colocar al lado" o "comparar" indicando que no había ni deficiencia ni exceso.
Su definición actual afirma que es el conjunto de todos los puntos situados en un plano que equidistan de un punto y una recta fijos. El punto fijo se denomina foco y la recta fija,directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
A partir de la definición, podemos derivar la ecuación de una parábola. Para ello, seelige el eje y como recta perpendicular, la directriz, conteniendo así el foco.

Aplicaciones
Historia y aplicaciones generales: Desde la época en que Apolonio demostraba las propiedades que poseen las curvas cónicas, descubrió que se destacaba la creación de espejos con forma de sección cónica aplicando las propiedades de reflexión, obteniendo así los llamados espejos elípticos, parabólicos ohiperbólicos.
Las cónicas ayudan de manera sustancial en la óptica (rama de la Física) por las propiedades de reflexión que los espejos presentan y además, las formas que toman las orbitas de un cuerpo celestial en el espacio sean elípticas y que la fuerza de gravedad tiene una fuerza atrayente cuya trayectoria es la de una curva elíptica (descubierto por Johannes Kepler y demostrado por Isaac...