Conicas Y Cuadricas

Cónicas y cuádricas

Una aplicación importante de una cónica (parábola) es en la construcción de puentes colgantes. Un cable de suspensión colgado entre dos postes sostiene una estructura de densidad uniforme mucho más pesada que el propio cable y toma la forma aproximada de una parábola. Esto se debe a que la forma parabólica permite sostener un peso uniforme horizontal de tal forma que existauna tensión uniforme en cada uno de los puntos.
Golden Gates (San Francisco, EEUU). Fuente: www.aynsof.com/photo.htm

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Elementos básicos de geometría
En los planos tenemos puntos y rectas como elementos básicos, a partir de los cuales se definen segmentos, semirrectas y otras figuras geométricas. ¿Cuáles son las posiciones relativas entre dos rectas de un plano? Análogamente, en elespacio tenemos puntos, rectas y planos como elementos básicos, a partir de los cuales se definen otras figuras geométricas. ¿Cuáles son las posiciones relativas entre dos rectas, una recta y un plano y entre dos planos en el espacio? Dos rectas distintas l, m: Se cortan en un punto O (se dice que son secantes)

No se cortan (se dice que son paralelas) m m l

En un plano

l O

En el espacioUna recta l y un plano α
Están en planos distintos (se dice que se cruzan)
l

Dos rectas distintas l, m
Se cortan en un punto O (son secantes)
l O m

No se cortan Están en un plano (son paralelas)
l m

Se cortan en un punto O

No se cortan

α
O m m

α α
Recta contenida en un plano
m

m

Dos planos distintos α y β
Se cortan según una recta l (son secantes) No se cortan (sonparalelos)

Techo γ
l y m secantes en O l contenida en α y β
l

α
l

α y β secantes según l δ y γ paralelos

β

α

β

Pared α Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

O

Pared β
m

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Piso δ

El mundo de las cónicas
Piensa en una naranja o en un limón, o una fruta de forma casi esférica. Si cortamos a uno de ellos con un cuchillo, la forma de la sección cortada es uncírculo. La concha tiene forma de circunferencia. Si se hacen cortes transversales o longitudinales en algunas frutas, se obtienen curvas que se asemejan a cónicas. Cuando un cono se corta con un plano se forma una curva en la intersección de la superficie cónica y el plano. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o simplemente cónicas. En función de la relación existente entre el ángulode conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola
β α

β

β β

Apolonio (ca. 262-200 a.C.) de la Escuela de Alejandría y a quien se deben los nombres de parábola, hipérbola y elipse, dio una visión general de las secciones cónicas, al generar todas, variando lainclinación del plano que corta al cono con respecto del eje del mismo.

β < α : Hipérbola (azul) β = α : Parábola (verde) β > α : Elipse (morado) β = 90°: Circunferencia (rojo)

En la naturaleza existen ejemplos que ilustran las formas cónicas como: las ondas en el agua (circunferencias), la forma de una hoja (elipse), la forma de un haz de luz (parábola) y la trayectoria de planetas o cometasalrededor del sol (elipses).

Existe una leyenda que dice que alrededor de 430 a.C. una plaga cayó sobre Atenas (Grecia). Zeus, en el oráculo de Delos, anunció que el sufrimiento de la población terminaría cuando construyesen un altar de doble tamaño del cubo que sostenía la estatua de Apolo. Aunque fallaron todos los intentos de duplicación del cubo utilizando regla y compás como instrumentos dedibujo, esto dio origen al estudio de las secciones cónicas.
Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

¿Lado? Lado a V=a2 V=2a2

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Cuando se corta una superficie cilíndrica con un plano se obtiene una elipse. Si el plano que corta al cilindro o al cono es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia. La visión anterior de las cónicas es geométrica: superficies cortadas por planos....