Conicas

SECCIONES CÓNICAS

CARACTERÍSTICAS GENERALES.
Una sección cónica, es la curva que puede obtenerse de la intersección de un plano y un cono.
Circunferencia:
Se obtiene intersecando un cono con un plano perpendicular al eje y que no contenga al vértice.
Elipse:
Plano de corte inclinado ligeramente.
Parábola:
Plano de corte más inclinado.
Hipérbola:
Plano de corte paralelo al eje Ysin contener al vértice.

Al tratar las cónicas como lugares geométricos (Conjuntos de puntos que cumplen una propiedad determinada) y al introducir un sistema de referencia se obtienen ecuaciones de las cónicas.

CIRCUNFERENCIA

Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
ECUACIÓN



Donde el centro tiene coordenadas

 NOTACIÓNy radio .


EJEMPLO 1

Una circunferencia y radio tiene ecuación




EJEMPLO 2

En una circunferencia que tiene ecuación


¿Cuál es el centro y el radio?

Tiene y radio .

EJEMPLO 3

Escribir a partir del centro y el radio de la circunferencia su ecuación correspondiente.

(a) De centro y radio .

(b) De centro y radio .
.

EJEMPLO 4

Hallarel centro y el radio de la circunferencia .

Para ello es necesario transformar la ecuación dada a la forma de la ecuación de la circunferencia.

(1) Se agrupan los términos que contienen a y , luego se completan cuadrados.



Para ello se suma y resta a la vez la mitad al cuadrado del coeficiente que acompaña a o a .








Finalmente, se tiene que:


Ahora para.






Finalmente, se tiene que:


(2) Se sustituye en la ecuación.









El centro es y radio .

EJEMPLO 5
Hallar el centro y el radio de la circunferencia.




(1)






Finalmente, se tiene que:

Ahora para .






Finalmente, se tiene que:

(2)






El centro es y radio .

ELIPSE

Lugar geométrico delos puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

Una elipse con centro tiene ecuación:




Donde es la distancia de un eje y es la del otro eje (Dependiendo del valor de a y b se sabe cuál es el eje mayor o menor).

VÉRTICES  Son los extremos del eje mayor.

FOCOS

Los focos siempre están sobre el eje mayor y en toda elipse severifica que donde es la distancia del origen a uno de los focos; además se tiene que es el denominador más grande y es el menor.

EXCENTRICIDAD

Para le elipse o siendo , la excentricidad es el número


La excentricidad de las elipses satisface .

EJEMPLO 1

Halla el eje mayor, el eje menor, los vértices y los focos de la elipse.


EJES



VÉRTICESSon los extremos del eje mayor.

Si
 

La intersección con el eje x es .

Si
 

La intersección con el eje y es

Como el eje mayor está ubicado en el eje y los extremos del eje mayor son estas son las coordenadas de los vértices de la elipse.

FOCOS
 

Luego los focos están en el eje y son

EXCENTRICIDAD
 e = 35

GRÁFICAEJEMPLO 2
Halla el eje mayor, el eje menor, los vértices y los focos de la elipse.



EJES
Tiene centro ; como y se tiene que y .
Luego la distancia del eje mayor es 10 y la del menor es 8.

FOCOS
 

Luego los focos están en el eje y son

VÉRTICES

Como la gráfica se traslada en el eje en una unidad y en el eje en -3 unidades, eso se le suma a los vérticesde la gráfica sin trasladar. Es decir y van a ser los vértices de la elipse trasladada.

Como la gráfica se traslada en el eje en una unidad y en el eje en -3 unidades, eso se le suma a los vértices de la gráfica sin trasladar. Es decir y van a ser las coordenadas del eje menor ya trasladado.
GRÁFICA

EJEMPLO 3
La representación gráfica de una elipse



Tiene centro ;...