Conicas

Cónicas

3.1
3.2
3.3
3.4

Circunferencia
Parábola
Elipse
Hiperbola

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Identifique, grafique y determine los
elementos de una cónica conociendo su
ecuación general.
• Dado elementos de una cónica encuentre su
ecuación.
• Resuelva problemas de aplicación empleando
teoría de cónicas

1

Cónicas

La Ecuación General de una cónica,tiene la forma:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0
Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos.
Consideraremos E = 0 para la presentación que nos proponemos hacer.

3.1. Circunferencia
3.1.1. Definición.
Sea C un punto del plano y sea “ r ” un número real
positivo. Se define la circunferencia como el lugar
geométrico de los puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P
a C es igual a “ r ”. Es decir:

C= {P( x, y ) / d ( P, C ) = r}
Al punto “ C ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le
denomina radio de la circunferencia.

3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que C tiene coordenadas ( h, k )
y

P (x, y )

r

O(h, k )

x

La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto

C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”,está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 ,
entonces, tenemos:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

Ecuación canónica de una
circunferencia. Para r 2 > 0 .

2

Cónicas

Si r 2 = 0 , tenemos ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el
punto C (h, k ) . ¿Por qué?
2

2

Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué?
Observe que en la ecuación general,debemos tener como condición
necesaria pero no suficiente que A = B ≠ 0 .

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Podemos darle otra forma a la ecuación. Dividiendo para

A:

A 2 A 2 C
D
F
x + y + x+ y+ =0
A
A
A
A
A
Resulta

x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:

x2 + y2 = r 2
Es decir, una circunferencia con centro C (0,0) ,el origen:

y

y = x2 − r 2

O(0,0)

x
r

y = − x2 − r 2

3

Cónicas

Ejemplo
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrados

(x

2

) (

)

− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9

( x − 2) + ( y + 3) = 25
2

2

Tenemos unacircunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)

r =5
C (2,−3)

Ejercicios Propuestos 3.1
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:
a.

x2 + y 2 − 2x − 4 y + 1 = 0

b.

2 x2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y + 9 = 0

c.

x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0

d.
x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 17 = 0
2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a lospuntos A(0,6), B(1,5) y cuyo
centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 .
Resp. (x + 3)2 + ( y − 2 )2 = 25
3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación
2 x − 3 y + 5 = 0 , y está centrada en el punto (−1,−2)
Resp. 13x 2 + 13 y 2 + 26 x + 52 y − 16 = 0
4. La intersección de las rectas L1 : 2 x − y + 3 = 0 y L2 : 4 x+ y − 2 = 0 es el centro de una
circunferencia que es tangente a la recta L3 : x − y + 1 = 0 . Determine la ecuación de la
circunferencia.

(

Resp. x +

) + (y − 8 )2 = 121
3
72

1 2
6

5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación
x 2 + y 2 − 6 x − 14 y − 111 = 0 conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene
coordenadas

4

(17 , 7) .
2 2

Resp.

506

Cónicas

3.2. Parábola
3.2.1. Definición
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define
como el lugar geométrico de los puntos P ( x, y ) tal que su
distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l .
Es decir:
Parábola = {P ( x, y ) / d ( P, F ) = d ( p, l )}

Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le
denomina...