conicas

CÓNICAS

Resumen Teórico

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha
Publicado en [Octubre de 2010] en mi sitio
www.arfsoft.com.uy
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material sin dar crédito a su autor. Solamente se puede imprimir y
sin modificación alguna.

CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

Índice

Introducción …………………………………………………….. 3Circunferencia …………………………………………………... 4
Parábola
Eje de simetría vertical …………………………………….. 5
Eje de simetría horizontal ………………………………….. 7
Elipse
Eje focal horizontal ………………………………………… 9
Eje focal vertical ………………………………………….... 11
Hipérbola
Eje focal horizontal ………………………………………… 13
Eje focal vertical …………………………………………… 15
Análisis especial de la cond. de existencia en elipse e hipérbola .. 17Reconocimiento de cónicas ……………………………............... 23
Bibliografía consultada …………….…………..………............... 24

2

CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

Introducción

Se llaman cónicas a las curvas: Circunferencia, Parábola, Elipse e Hipérbola.
Todas estas curvas tienen como fórmula implícita una ecuación de la siguiente forma:

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

3CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

CIRCUNFERENCIA
xC
yC
DATOS

abscisa del centro
ordenada del centro

r

radio

(r > 0)

A =1
B=0
COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

C =1
D = −2 xC
E = −2 yC
F = xC 2 + yC 2 − r 2
2

FÓRMULA EXPLÍCITA

y = ± r 2 − ( x − xC ) + yC
xC − r ≤ x ≤ xC + r

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(condición de existencia : D 2 + E 2 − 4 F > 0)
D
2
E
yC = −
2

xC = −

r=

D2 + E 2 − 4F
2

4

CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

PARÁBOLA
Eje de simetría VERTICAL

xV
yV
DATOS

abscisa del vértice
ordenada del vértice

yF

ordenada del foco

( yF ≠ yV )
Parámetro auxiliar:

p = yF − yV

( p ≠ 0)

1
4p
B=0
A=

C=0
xV
2p
E = −1
D=−COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

xV 2
F=
+ yV
4p
5

CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

y = ax 2 + bx + c
FÓRMULA EXPLÍCITA

a≠0

x∈R
1
4p
x
b=− V
2p
a=

COEFICIENTES DE LA FÓRMULA EXPLÍCITA

xV 2
c=
+ yV
4p
p=

1
4a

b
2a
b2
yV = c −
4a
xF = xV

xV = −

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA EXPLÍCITA

yF = yV + p

6

CÓNICAS

Escrito porProf. A. Rodrigo Farinha

PARÁBOLA
Eje de simetría HORIZONTAL

xV
yV
DATOS

abscisa del vértice
ordenada del vértice

xF

abscisa del foco

( xF ≠ xV )

7

CÓNICAS

Parámetro auxiliar:

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

p = xF − xV

( p ≠ 0)

A=0
B=0
C =1
COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

D = −4 p
E = −2 yV
F = yV 2 + 4 pxV

y = ±2 p ( x − xV ) + yVFÓRMULA EXPLÍCITA

si p > 0 : x ≥ xV
si p < 0 : x ≤ xV
D
4
E 2 − 4F
xV =
4D
E
yV = −
2
xF = xV + p
p=−

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

yF = yV

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CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

ELIPSE
Eje focal HORIZONTAL

xC
yC

ordenada del centro

a

semieje mayor

b

DATOS

abscisa del centro

semieje menor

(a ≥ b>0)
Parámetro auxiliar:distancia focal 2c

Excentricidad:

e=

c = a 2 − b2

c
a

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CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

A = b2
B=0
C = a2
COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

D = −2b 2 xC
E = −2a 2 yC
F = a 2 yC 2 + b 2 xC 2 − a 2b 2

1  D2 E 2 
+
Condición de Existencia: F = 
 − AC
4 A C 
condición al final de la monografía)

(ver un análisis exhaustivo de estaSi a = b ⇒ Circunferencia

b 2
2
a − ( x − xC ) + yC
a
xC − a ≤ x ≤ xC + a
y=±

FÓRMULA EXPLÍCITA

a= C
b= A
DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

xF = xC + c
yF = yC
FOCOS

xF ' = xC − c
yF ' = yC

10

D
2A
E
yC = −
2C

xC = −

CÓNICAS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

ELIPSE
Eje focal VERTICAL

xC
yC
DATOS

abscisa del centro
ordenada del...