Conicas

Coss Chávez Alberto
CÓNICAS
INTRODUCCIÓN
Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas, y los tres tipos de curvas de intersección que ocurren son la parábola, la elipse y la hipérbola, la circunferencia es considerada como un caso particular de la elipse.
La primera definición de la que se tenga registro surge en la antiguaGrecia en el siglo cuarto antes de Cristo, y les habían llamado secciones cónicas, o simplemente cónicas: la intersección de planos con conos circulares (completos). El matemático griego Apolonio estudio las secciones cónicas en términos de geometría utilizando este concepto. La escuela de Alejandría estudió dichas curvas, hasta que casi dos mil años después se descubrió que dichas curvas seexpresaban en la naturaleza como las orbitas de los planetas (elipses descritas por Kepler) o en las trayectorias de los proyectiles (parábolas descritas por Newton y predecesores). Sus propiedades focales, que también descubrieron los griegos, se usan hoy cotidianamente en las antenas parabólicas, en los telescopios y en el diseño de reflectores o de las lentes de los anteojos o cámaras.
Figura I.I
Laescuela de Alejandría, demostró que a las cónicas se les puede definir intrínsecamente como lugares geométricos en el plano, es decir como subconjuntos de puntos que cumplen cierta propiedad; a saber una propiedad que se expresa en términos de distancias.
Respecto a la geometría de las secciones cónicas, un cono se considera que tiene dos hojas, extendiéndose indefinidamente en ambas direcciones.Una porción de un cono recto circular de dos hojas se muestra en la Figura I.I. Un generador (o elemento) del cono es la linea recta situada en el cono y todos los generadores de un cono contienen el punto V, llamado vértice del cono.
En la figura I.II tenemos un cono y un plano que lo corta, el cual es paralelo a uno y solamente un generador del cono. Esta cónica es una parábola (b). Si elplano cortante es paralelo a dos generadores , entonces intersecta a ambas hojas del cono y tenemos una hipérbola (d). La elipse se obtiene si el plano cortante no es paralelo a ningún generador, como en el inciso (b). Un caso especial de la elipse es el círculo, el cual se forma si el plano cortante que intersecta a cada generador, es también perpendicular al eje del cono (a).
Figura I.II
Casosdegenerados de las cónicas incluyen un punto, una línea recta y dos líneas rectas que se intersectan. Se obtiene un punto si el plano que corta al cono contiene al vértice pero no contiene ningún generador. Esta es una elipse degenerada. Si el plano cortante contiene al vértice del cono y solamente un generador, entonces se obtiene una linea recta, y esto es una parábola degenerada. Una hipérboladegenerada se forma cuando el plano cortante contiene el vértice del cono y dos generadores con lo cual resultan dos lineas rectas que se intersectan.

DEFINICION
Una cónica se define como el conjunto de todos los puntos P en un plano tales que la distancia no dirigida de P a un punto fijo esta en razón constante a la distancia no dirigida de P a una recta que no contiene al punto fijo. La razónconstante a la distancia no dirigida de P se le llama ls exentricidad de la cónica y se denota por e. La exentricidad e es un número no negativo por ser la razón de dos distancias no dirigidas. De hecho para cónicas no degeneradas e ˃ 0. Más adelante analizarenos cuando e = 0, tenemos un punto. Si e = 1 veremos que la cónica es una parábola. Si e ˂ 1, la cónica es una elipse y si e ˃ 1, la cónicaes una hipérbola.
El punto fijo es llamado foco de la cónica, y la recta fija se llama directriz correspondiente. La recta que pasa por un foco de una cónica perpendicular a la directriz se llama eje principal de la cónica y el eje principal se llaman los vértices de la cónica.
CIRCULO
Definición. Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un punto fijo...