conicas

Tema 1.- C´nicas y Cu´dricas.
o
a
1. C´nicas.
o
2. Cu´dricas.
a
3. Ejercicios.
La necesidad de afrontar el estudio de objetos complicados del plano y el espacio hace conveniente disponer de un
manejo previo de ciertas curvas y superficies simples. Este primer tema se divide en dos secciones que, adem´s de estar
a
unidas por el nexo com´n de la geometr´ y por sus m´ltiples utilidades, sediferencian en los temas que analizan: las
u
ıa
u
c´nicas en el plano y las superficies cu´dricas en el espacio.
o
a
Las c´nicas son curvas que se obtienen a partir de ecuaciones de segundo grado en dos variables. Geom´tricamente
o
e
pueden obtenerse, salvo algunos casos degenerados, de la intersecci´n de un plano con un cono, raz´n por la cual
o
o
reciben el nombre de seccionesc´nicas. Su importancia radica, junto a la utilidad que tienen para el estudio de otras
o
curvas m´s complicadas, en sus muchas propiedades geom´tricas.
a
e
Por su parte, las cu´dricas son superficies del espacio que, an´logamente a las c´nicas, corresponden a los puntos
a
a
o
del espacio que verifican una ecuaci´n de segundo grado en tres variables.
o
Comentemos, para terminar, que el estudiode las c´nicas y cu´dricas que llevaremos a cabo en este primer tema se
o
a
reducir´ a aquellas cuyos ejes de simetr´ sean paralelos a los ejes coordenados. Esta condici´n se traduce, en t´rminos
a
ıa
o
e
de la ecuaci´n de segundo grado, en que no aparecer´n productos cruzados de las variables.
o
a

1.

C´nicas.
o

El objetivo de considerar aqu´ el estudio b´sico de las c´nicas noes otro que el de ampliar el cat´logo conocido de
ı
a
o
a
curvas planas elementales definidas de manera impl´
ıcita, as´ como el estudiar algunas de sus propiedades intr´
ı
ınsecas
(independientes del sistema de ejes).
Vamos a estudiar los aspectos b´sicos de las c´nicas: par´bola, elipse e hip´rbola, considerando la definici´n de
a
o
a
e
o
´stas como lugar geom´trico, es decir,como el conjunto de todos los puntos del plano que verifican una determinada
e
e
propiedad. Ejemplos sencillos de lugares geom´tricos son: la circunferencia (lugar geom´trico de los puntos de un plano
e
e
que est´n a igual distancia de un punto fijo), el lugar geom´trico de los puntos de un plano que equidistan de dos
a
e
puntos prefijados no es otro que la recta mediatriz del segmentodeterminado por los dos puntos, el lugar geom´trico
e
de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan est´ formado por las bisectrices de los ´ngulos que determinan
a
a
las rectas dadas, ...
Como veremos, adoptando un sistema de ejes adecuado las c´nicas quedar´n caracterizadas mediante una ecuaci´n
o
a
o
impl´
ıcita en dos variables (x, y) determinada por un polinomio de segundo gradoen el que no hay t´rmino cruzado
e
xy.

1.1.

Secciones c´nicas.
o

Dejando al margen coordenadas, ecuaciones, ... el nombre completo de las c´nicas es el de secciones c´nicas pues
o
o
son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante un plano. Si tenemos un cono circular recto (m´s adelante
a
mostraremos su ecuaci´n) y lo cortamos con un plano, pueden obtenerse (ver lossiguientes dibujos):
o
2 rectas, si cortamos con un plano que pasa por el v´rtice y cuyo ´ngulo de inclinaci´n respecto al eje del cono
e
a
o
es menor que el de la generatriz del cono.
1 recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el v´rtice y cuyo ´ngulo de inclinaci´n respecto al eje del
e
a
o
cono es igual que el de la generatriz del cono.
1 punto, concretamente el v´rticedel cono, si cortamos con un plano que pasa por el v´rtice y cuyo ´ngulo de
e
e
a
inclinaci´n respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.
o
Una hip´rbola, si cortamos con un plano que no pase por el v´rtice y cuyo ´ngulo de inclinaci´n respecto al
e
e
a
o
eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.
Una par´bola, si cortamos con un plano que no pase...