Conicas

Tema 05: Cónicas, propiedades fundamentales

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Cónicas. Propiedades fundamentales
5.0 Introducción
La presencia de cónicas en la naturaleza y en el diseño es bastante habitual. En la práctica se usan por su simplicidad y por que llevan asociada una ecuación matemática que simplifica el trabajar con ellas. Algunos ejemplos: las trayectorias de los planetas son elipses siendo el sol unode los focos y siguiendo las leyes de Kepler. Los cuerpos celestes (planetas y satélites) siguen trayectorias cónicas, pudiendo ser uno u otro tipo de cónica en función de su velocidad. Todo cuerpo bajo el campo gravitatorio y prescindiendo del rozamiento con el aire, sigue una parábola. Por eso se habla de tiro parabólico y de parábola de seguridad, que es una parábola envolvente de todas lastrayectorias que puede seguir un determinado proyectil en función del ángulo de lanzamiento. Las hipérbolas se usan en arquitectura, basta ver la Sagrada Familia de Gaudí, por formar arcos más esbeltos y estéticos que con una parábola.

Parábolas en las formas de un buque Los extremos de las líneas de agua en muchas partes del buque, suelen diseñarse como parábolas debido a su simplicidad yfacilidad de construcción.

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5.1 Definición
Hasta ahora las cónicas se habrán explicado como un lugar geométrico; así por ejemplo se habrá definido la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sin embargo estas son sóloalgunas de sus propiedades, y el verdadero origen de las cónicas es tridimensional. Una cónica proviene de cortar una superficie cónica por un plano. Hasta ahora se ha hablado de conos y no de superficie cónica. La superficie cónica tiene dos hojas, es decir, sería un cono unido a otro simétrico a él respecto al vértice, y es ilimitada, es decir no tiene base. No obstante por comodidad y mejorvisualización suelen dibujarse conos con base. Una superficie cónica se forma al girar en el espacio una recta denominada generatriz respecto a otra fija denominada eje de la superficie cónica (Fig. 1). El ángulo entre las dos rectas es el semiángulo cónico α.

Fig. 1 Generación de una superficie cónica

5.2 Generación de cónicas
La obtención de un tipo u otro de cónica (elipse, parábola ohipérbola) depende de la posición relativa entre el plano de corte a la superficie cónica y el eje misma. Existen otras dos cónicas degeneradas que son dos rectas si el plano de corte pasa por el eje de la superficie cónica y una recta doble si el plano es tangente a la superficie cónica cortándola en una generatriz. Sólo se verán por su importancia la elipse, parábola e hipérbola.

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Elipse
En este caso, el ángulo formado por el plano de corte y el eje de la superficie cónica es mayor que el semiángulo cónico (Fig. 2). La curva que se obtiene será cerrada y estará situada en una única hoja de la superficie cónica

Fig. 2 Generación de una elipse Si el plano es perpendicular al eje del cono, seobtiene una circunferencia que es un caso particular de elipse.

Parábola
En este caso, el ángulo entre el plano de corte y el eje del cono, es igual al semiángulo cónico, es decir que el plano de corte es paralelo a una generatriz del cono (Fig. 3). La cónica obtenida no es una cónica cerrada y tendrá puntos en el infinito. Como la hipérbola, la parábola es una cónica con puntos en el infinito.Fig. 3 Generación de una parábola

Hipérbola
En este caso el ángulo formado por el plano de corte y el eje del cono es menor que el semiángulo cónico (Fig. 4). De esta forma la intersección se produce en las dos hojas de la superficie cónica a diferencia de la elipse y de la parábola, y de nuevo la cónica tendrá puntos en el infinito.

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