Conicas

Cónicas:
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano  con el eje e.


Como identificar una Cónica
9y² + 18y - 4x² - 8x - 31 = 0 
Primero hay que ordenar los términos: 
- 4x² +9y² - 8x + 18y - 31 = 0 
para que la ecuación quede en la forma general de una de segundo grado: 
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 

Como se ve acá 
A = - 4 
C = 9 
D = -8 
E = 18 
F = -31 

Cuando en la ecuación dada se tiene que el producto de A por C es positivo, tenemos una elipse. Si además A = C entonces es un caso especial de la elipse: la circunferencia. 
Cuando en la ecuación dadase tiene que AC es negativo, entonces tenemos una hipérbola. 

Si A = 0 ó si C = 0 (pero no ambos a la vez) entonces tenemos una parábola. 

He ahí la forma de identificar la cónica a partir de su ecuación general. Así, la primera ecuación representa una hipérbola (tenías razón) porque AC = - 4(9) = -36 < 0. 
En la segunda ecuación vemos que A = 4 y que C = 9, por tanto AC = 4(9) = 36 > 0 locual representa a una elipse. 

Tipos
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular deelipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medidaβ disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Características de las cónicas:
La elipse:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
La hipérbola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando lacurva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 A su vez, la de una hipérbola vertical es: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2} = 1

La parábola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
Eje, e
Vértice, V
Distancia de F a d, p.
Unaparábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: \ y = a{x^2} \,

Circunferencia:
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia, al centro.
Puede ser definida como una...