Conicas

´ ´ Introduccion a la Matematica Universitaria. 520145 Cap´tulo 3. Geometr´a Anal´tica. ı ı ı
´

Geometr´a Anal´tica ı ı

1.


1.

R2 y el plano real.

El estudio de relaciones y funciones (cuyas propiedades se detallan ´ ı en los proximos cap´tulos del curso) mediante sus ´ representaciones graficas en el plano, o viceversa, es lo que se llama Geometr´a Anal´tica Plana (o del plano).Por ejemplo, el ı ı conjunto L

= {(x, y) : y = x}, que sabemos representa una

recta en el plano. Ahora, presentamos el sistema cartesiano de coordenadas, ´ determinamos la expresion de la distancia en el plano (o distancia ´ en R2 ), estudiamos la ecuacion de la recta, la circunferencia y las ´ conicas. Finalmente, las curvas en general y las regiones en el plano.
Geometr´a Anal´tica ı ı2. FCFM. UdeC.

1.1 Distancia en el plano. Como vimos en el cap´tulo sobre numeros reales, |a − b| ı ´ representa la distancia entre los numeros a y b. ´ Ahora, para P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos cualesquiera del plano. La distancia d(P1 , P2 ), entre P1 y P2 , se obtiene por ´ ´ aplicacion directa del teorema de Pitagoras. En efecto, formamos el ´ ´ triangulo ∆P1 QP2 , rectangulo enQ, entonces

d (P1 , P2 ) = P1 Q + QP2 ,

2

2

2

Geometr´a Anal´tica ı ı

3.

FCFM. UdeC.

y como P1 Q tiene que:

= |x2 − x1 | y QP2 = |y1 − y2 | = |y2 − y1 | se

d2 (P1 , P2 ) = |x2 −x1 |2 +|y2 −y1 |2 = (x2 −x1 )2 +(y2 −y1 )2 .
´ De aqu´ obtenemos la formula de la distancia ı

d(P1 , P2 ) = + (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

Geometr´a Anal´tica ı ı

4.

FCFM. UdeC.Propiedades de la Distancia El signo + de la ra´z obedece a que d es una longitud; es decir, ı ´ d(P1 , P2 ) ≥ 0 siempre. En rigor, d es una funcion

d : R2 ×R2 −→ R, (P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )) −→ d(P1 , P2 )
con las siguientes propiedades ∀P1 , P2 , P3 i). ii). iii). iv).

∈ R2

d(P1 , P2 ) ≥ 0. d(P1 , P2 ) = 0 ⇐⇒ P1 = P2 . d(P1 , P2 ) = d(P2 , P1 ). d(P1 , P2 ) ≤ d(P1 , P3 ) + d(P3, P2 ).

Geometr´a Anal´tica ı ı

5.

FCFM. UdeC.

´ Lugares geometricos ´ ´ Por definicion, un lugar geometrico es un conjunto de puntos que ´ verifican una o mas condiciones dadas. ´ ´ Para determinar la ecuacion de un lugar geometrico se procede de la manera siguiente: ´ • se designa con P (x, y) un punto cualquiera(generico) del ´ lugar geometrico. ´ ´ • se expresa matematicamente lacondicion inpuesta para el ´ lugar geometrico. Por ejemplo. y = 3 ´ ´ • se desarrolla esta expresion, lo que lleva a la ecuacion buscada. Para el ejemplo:

L = {(x, y) : y = 3} = {(x, 3) : x ∈ R}, es el lugar
´ geometrico.
Geometr´a Anal´tica ı ı 6. FCFM. UdeC.

1.2

´ Ecuacion de la recta

´ ´ Se llama inclinacion de la recta L al angulo α, con ´ 0 ≤ α < 180o , que forma L con ladireccion positiva del eje x, medido en sentido antihorario. Se llama pendiente de la recta L, denotada por m, a la tangente ´ ´ trigonometrica de la inclinacion. Es decir,

m = tg α.
Si P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) son dos puntos cualesquiera de la ´ ´ recta L, del triangulo ∆P1 QP2 rectangulo en Q, se obtiene que la pendiente de la recta es

y2 − y1 y1 − y2 m = tg α = = . x2 − x1 x1 − x2Geometr´a Anal´tica ı ı 7. FCFM. UdeC.

´ Ecuacion de la recta

6

L

6

L1 L2 α1 α2
1 2 3 x 4 5 6 7

4 4

2

2

α
–1 0 1 2 3 x 4 5 6 7 –2

–1

–2

´ Figure 1: Ecuacion de recta L

Rectas paralelas.

Geometr´a Anal´tica ı ı

8.

FCFM. UdeC.

Rectas paralelas Sean L1 y L2 dos rectas con pendientes m1 y m2 , respectivamente. De la Figura anterior se deduce el siguiente.´ Teorema. Las rectas L1 y L2 son paralelas ssi los angulos de ´ inclinacion son iguales, α1

= α2 , lo que es equivalente con

m1 = m2 . En consecuencia, L1
Ejemplo. Las rectas L1

L2 ⇐⇒ m1 = m2 .

: y = 2x − 3 y L2 : y = 2x − 4 son paralelas, pues m1 = m2 = 2.

Geometr´a Anal´tica ı ı

9.

FCFM. UdeC.

Rectas perpendiculares ´ Teorema. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares...