Conicas

TEMA V: CÓNICAS Y CUÁDRICAS
OBJETIVOS: Generales: 1. Conocer los distintos tipos de curvas que se obtienen como secciones de un cono, es decir, los distintos tipos de cónicas. 2. Conocer los distintos tipos de superficies cuádricas que existen. Específicos: • Recordar los conceptos de elipse, parábola e hipérbola como secciones planas de un cono y como ciertos lugares geométricos. • Conocer ymanejar con soltura las ecuaciones generales de la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. • Conocer la ecuación general de una cónica en sus distintas presentaciones y estudiar las variaciones que presentan dicha ecuación al cambiar de sistema de referencia. • Conocer el concepto de polar respecto de una cónica y saber calcularla. • Calcular a partir de la ecuación general de unacónica, su ecuación reducida y mediante esta clasificarla • Conocer los invariantes de una cónica y mediante ellos clasificar las cónicas. • Conocer la ecuación general de una cuádrica en sus distintas presentaciones y estudiar las variaciones que presentan dicha ecuación al cambiar de sistema de referencia. • Calcular a partir de la ecuación general de una cuádrica, su ecuación reducida y medianteesta clasificarla. • Conocer los invariantes de una cuádrica y mediante ellos clasificar las cuádricas. BIBLIOGRAFÍA • • • • “Álgebra lineal con métodos elementales”, L. Merino, E. Santos, 1999. “Álgebra y Geometría Analítica”, F. Granero. McGrawHill, 1994. “Álgebra lineal y geometría: ejercicios”, J. GarcíaGarcía y M. López Pellicer. Marfil, 1991. “Problemas de álgebra: Geometría proyectiva.Conicas. Cuadricas. Tomo 7”, M. Anzola y otros, 1981.

Miguel Ángel García Muñoz

Álgebra II Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión

I. INTRODUCCIÓN.
Consideremos el plano afín métrico sistema de referencia rectangular. I.1 ELIPSE. Dados dos puntos fijos distintos F1 y F2 a los que llamaremos focos y un número positivo a, entonces la elipse de focos F1, F2 y semieje a es el conjunto de los puntosdel plano cuya suma de distancias a los focos es 2a. Por tanto la ecuación que debe de verificar un punto X, para pertenecer a la elipse es: d(X, F1) + d(X, F2) = 2a Desarrollando dicha ecuación tomando F1=(d, 0) y F2 = (-d, 0) sobre el eje OX y ambos equidistantes del origen obtenemos
2

y

en

el

un

x2 y2 + =1 a 2 b2
la ecuación reducida de la elipse. Los ejes del sistema dereferencia son los ejes de la elipse y el punto medio de los focos o centro de la elipse es el origen de coordenadas. Los valores de a y b se pueden calcular mediante los puntos de corte de la elipse con los ejes y puesto que a2 = b2 + d2, b y d son los lados de un triángulo rectángulo de hipotenusa a.

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda queune los dos focos se le llama eje mayor y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor por el centro se llama eje menor de la elipse. Un caso particular de una elipse es la circunferencia, donde los dos focos y el centro son el mismo punto, y cuya ecuación reducida verifica a = b.

Miguel Ángel García Muñoz

Curso 07-08 Tema 5: Cónicas y cuádricas

I.2HIPÉRBOLA. Dados dos puntos F1 y F2 o focos y un número positivo a el conjunto de todos los puntos del plano cuya diferencia en valor absoluto a los focos es 2a se llama hipérbola. La ecuación de la hipérbola es |d(X, F1) - d(X, F2)| = 2a Cuando los focos se toman sobre un eje de coordenadas y equidistantes del origen, es decir, si F1 = (d, 0) y F2 = (-d, 0) se obtiene la ecuación

x2 y2 − =1 a 2 b2
quees la ecuación reducida de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento que une los dos vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Cada una de las partes de la hipérbola se denominan ramas de la hipérbola. La rectas que pasan por el centro de la hipérbola y por los puntos (a, b) y (-a,...