Conicas.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distanciasentre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF - PF' = 2ª
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2

dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en unpunto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B no son del mismo signo.Ejemplo:
* Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (-6,2) y (0,2) y con un extremo del eje conjugado en (-3,3)
Aplicación:
* Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas
* La ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí.
Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del planoque equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuación analítica de la parábola : Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :
PF = PQelevando al cuadrado :
x2 = 4cy
si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p,q) entonces la ecuación sería :
(x-p)2 = 4c(y-q)
desarrollando la ecuación tendremos :
x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0
si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es :
x2 + Dx + Ey + F = 0
en la que podemos observar que falta el término de y2
Nota : como habrás observado el término xy noaparece nunca , esto es porque hemos supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados , en caso contrario aparecería este término , que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes .
Ejemplo:
* Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal, con vértice en (0,0) y foco en el punto (5,0). Trazar la gráfica.
Aplicación:
* Lastrayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuanta la fricción del aire.
1.1.- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
En primer lugar vamos a estudiar los aspectos b´asicos de las c´onicas no degeneradas
(par´abola, elipse e hip´erbola), considerando la definici´on de ´estas como el lugar geom´etrico de todos los puntosdel plano que verifican una determinada propiedad m´etrica.
Independientemente de que el resultado sea o no sea una c´onica, algunos ejemplos sencillos
de lugares geom´etricos definidos mediante condiciones m´etricas son los siguientes:
La circunferencia: lugar geom´etrico de los puntos de un plano que est´an a una distancia
prefijada de un punto fijo,
La mediatriz de un segmento: el lugargeom´etrico de los puntos de un plano que
equidistan de los extremos del segmento,
El lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan est´a formado por las dos bisectrices de los ´angulos que determinan las rectas dadas,
Una vez definida cada c´onica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, ´esta
queda caracterizada mediante una ecuaci´on impl´ıcita en dos...