conicas




MATEMÁTICAS BÁSICAS


CÓNICAS


DEFINICIÓN DE CÓNICA

Dada una recta fija L y un punto fijo F no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano, de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de L es siempre igual a una constante positiva.

La recta L se llama directriz, el punto F , foco y la constantepositiva, excentricidad de la cónica e :



















x
Directriz



PF
e
PA

Cuando e Cuando e Cuando e
1 , la definición anterior corresponde a una PARÁBOLA
1 , la definición anterior corresponde a una ELIPSE1
1 , la definición anterior corresponde a una HIPÉRBOLA


ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de segundo grado en dos variablesse define como2:
Ax2
Bxy
Cy 2
Dx Ey F 0


1 Una circunferencia es un caso particular de la elipse y sus ecuaciones nunca presentan el término Bxy ya que siempre existen dos diámetros paralelos a los ejes coordenados.
2 A, B, C , D, E, F
son coeficientes numéricos; x, y son las variables.



y puede representar una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según elindicador:
I B 2
4 AC

según sea cero, negativo o positivo respectivamente.

Esto puede resumirse en la siguiente tabla:

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO:
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0

PARÁBOLA
ELIPSE
HIPÉRBOLA
INDICADOR
I B 2 4 AC

I 0

I 0

I 0
EXCENTRICIDAD
e
e 1
e 1
e 1

Ejemplos:
Determinar la naturaleza de la cónica querepresentan las ecuaciones siguientes:
1) 4x 2
24 xy
11y 2
56 x
58 y 95 0
Solución.
A 4, B
24, C 11

I 24 2

4 4 11

576

176

400 0

es una hipérbola

2) x 2
16 y 2
8 xy
4 x 16 y 7 0
Solución.
A 1, B
8, C 16

I 82

4 1 16

64 64 0

es una parábola

3) 3x 2
4 xy
7 y 2
16 x
18 y 12 0
Solución.
A3, B

I 4 2 4
4, C

3 7
7

16 84


68 0


es una elipse

4) 6 x
3 y 15 0
Solución.
A 0, B
0, C 0
el indicador no se aplica ya que no se trata de una ecuación de segundo
grado en dos variables, sino una de primer grado, por lo tanto, es una recta.


TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES COORDENADAS

Los ejes coordenados fueronconcebidos como una herramienta que sirve para poder representar puntos y curvas en un plano. Sin embargo, existen lugares geométricos cuya naturaleza requiere de cambios en los ejes y se necesitan representar mediante una traslación, de una rotación o de una combinación de ambas.


En la ecuación general de segundo grado determinan si está o no trasladada la cónica.
Ax 2
Bxy
Cy 2
Dx Ey F0 , los términos D y E

Una traslación implica que el lugar geométrico conserva su misma forma pero de forma paralela a los ejes coordenados, es decir, produce un nuevo conjunto de ejes paralelos a los originales. En ese sentido se cumple que:
Si D
0 y E
0 significa que está en cualquier punto del plano
Si D
0 significa que está sobre el eje y
Si E
Si D
0 significa que está sobre eleje x
E 0 significa que está en el origen.

En una rotación, la forma del lugar geométrico no se altera, sin embargo, su posición respecto a los ejes
coordenados no es paralela. Si en la ecuación general de segundo grado, se cumple que B
0 , se
tiene una rotación de los ejes x y y en donde su origen permanece fijo y ambos giran alrededor de éste
un cierto ángulo.

En este sentido, eltérmino Bxy implica que la cónica está rotada con respecto a los ejes coordenados.
Considerando lo anterior, si B
0 , la cónica es paralela o coincidente a los ejes x y y .

Todos los casos posibles se agrupan en la siguiente tabla:


ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO:
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0


Sin Rotación: B 0

Con Rotación: B 0


Con Traslación

Sin...