CONICAS

GEOMETRIA ANALITICA

Cap´ıtulo 9

La Circunferencia
9.1.

Definici´
on

Se llama circunferencia al lugar geom´etrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano.
Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
Ecuaci´
on
Sea C(a, b) las coordenadas del centro, r el radio r > 0 y P (x,y) un punto
cualquiera de la circunferencia.
Condici´on del L.G. de P (x, y)
CP = r
(x − a)2 + (y − b)2 = r

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(1)

A esta ecuaci´on (1) se suele llamar ecuaci´on can´onica o standard de una circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

205

Luis Zegarra.

Secci´on 9

206

Notemos que de (1) desarrollando los cuadrados obtenemos
x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

(2)una ecuaci´on de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y adem´as
iguales a 1, carece del t´ermino en xy. Por tanto la ecuaci´on en particular
x2 + 3xy + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0
no representa a una circunferencia.
Vamos estudiar en el p´arrafo siguiente en forma mas general una ecuaci´on tal
como (2).

9.2.

Forma general centro y radio

Dada la ecuaci´on general de 2o grado, por:Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

A, B, C, D, Ey F par´ametros reales
De la observaci´on anterior B = 0, A = C = 0, as´ı
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y 2 +

D
E
F
x+ y+
=0
A
A
A

completando cuadrados obtenemos:
x+

D
2A

2

+ y+

E
2A

2

=

D2 + E 2 − 4AF
4A2

(4)

De la definici´on de circunferencia real (9.1-) se deduce que el centro tiene las
coordenadas
C −

D
E
,−
2A 2A

y alradio r2 =

D2 + E 2 − 4AF
4A2

esta u
´ltima expresi´on para el radio nos impone que para (3) represente a una
circunferencia real
D2 + E 2 − 4AF > 0.

Luis Zegarra.

9.3.

Secci´on 9

207

Casos Notables

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el
origen y radio r. De (1) se obtiene haciendo a = b = 0
x2 + y 2 = r2

(5)

Notemos tambi´en que en general unacircunferencia tal como
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
necesita ex´actamente de tres condiciones independientes para ser determinada.
Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuaci´on
x2 + y 2 + M x + N y + P = 0

(6)

como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 +
N 2 − 4P > 0 (condici´on del radio).
En este caso el centro esta dado por
M
N
C − ,−
2
2

9.4.

√
M 2 + N2 − 4P
y en radio por r =
2

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo
que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = −b, en el
primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x,
as´ı su ecuaci´on estar´a dada por
(x ± λ)2 + (y ± λ)2 = λ2 , a = b = r = ±λ = 0
λ par´ametro real, para el 2o casoel centro pertenece a y = −x, as´ı su ecuaci´on
ser´a:
(x ± λ)2 + (y ∓ λ)2 = λ2
Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los
puntos de intersecci´on de dos circunferencias dadas.
Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

Secci´on 9

C1 : x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 = 0,

M1 + N1 − 4P1 > 0

C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

M2 + N2 − 4P2 > 0

208estamos en el supuesto que C1 ∩ C2 = {P1 , P2 } ⇐⇒ > 0 ” ” es el discriminante de ecuaci´on de 2o grado que se forma al efectuar la intersecci´
on de C1 y C2 ,
as´ı la ecuaci´on de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 est´a dada
por
x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + λ(x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 ) = 0
(7)
λ par´ametro real λ = −1.
Esta ecuaci´on representa a todas las circunferencias porP1 y P2 con excepci´on,
en este caso de C2 .
Si λ = −1 se obtiene la ecuaci´on de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje
radical, es decir
(M1 − M2 )x + (N1 − N2 )y + P1 − P2 = 0

(8)

Notemos tambi´en que todas las circunferencias de ´esta familia tienen sus centros
M1 N1
M2 N2
sobre la recta que une los centros O1 −
,−
y O2 −
,−
, es decir
2
2
2
2
1
(N2 − N1 )x − (M2 − M1 )y − (M1 N2 − M2...