Conjetura De Poincare

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Septiembre de 2003 | |
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¿Demostrada la Conjetura de Poincaré?
La Conjetura de Poincaré es un célebre problema matemático planteado hace casi 100 años pero aún no resuelto (al menos no por ahora). Informalmente, puede considerarse como un problema geométrico relacionado con los intentos de establecer una clasificación apropiada de las superficies. Existeuna cantidad infinita de superficies distintas en el espacio. Ejemplos sencillos son los planos. Igualmente, las superficies de las esferas, de los elipsoides y de los toros. Además, los paraboloides, los hiperboloides, etc.


De hecho, los nombres de estas superficies dan lugar a criterios elementales de clasificación. Por ejemplo, un círculo es una superficie plana. Un hemisferio (la mitad dela superficie de una esfera) es una superficie esférica. Algunos términos técnicos representan otros criterios de clasificación. Por ejemplo, la superficie de una esfera y la de un elipsoide son ejemplos de superficies cerradas (en el sentido intuitivo de que poseen una región "interior" y otra "exterior" separadas) en tanto que un plano o un paraboloide no lo son. Desde otro punto de vista, lasuperficie de una esfera y la de un toro son ejemplos de superficies compactas (término técnico un poco más sofisticado que tiene algo que ver con el hecho de que tales superficies son "limitadas", esto es cada una de ellas se encuentra confinada a una región de diámetro finito en el espacio). Un curioso criterio de clasificación está formulado en relación con el hecho de que las superficies poseano no "huecos" u "orificios". Aquellas que no los poseen se denominan superficies simplemente conexas. Por ejemplo, un plano es una superficie simplemente conexa. Por el contrario, la superficie de un toro es un ejemplo de una superficie que no es simplemente conexa ya que presenta un "hueco" en la parte central.
La profunda investigación de las superficies llevada a cabo durante muchos añoscondujo a los geómetras a ver en las herramientas desarrolladas en el área conocida como Análisis Matemático un poderoso arsenal con el cual potenciar notablemente tal investigación. Procedieron entonces a dotar localmente a las superficies con sistemas de coordenadas (como el que comúnmente se usa en el plano y que permite, entre otras cosas, extender a dimensión [pic][pic]los conceptos del CálculoInfinitesimal). De este modo, un concepto fundamental del Cálculo Infinitesimal, como lo es el de función diferenciable, fue puesto al servicio de la Geometría con excelentes resultados. (De paso, ideas como esta jugaron un papel esencial en el origen de una bella rama de la Matemática denominada Geometría Diferencial.) Tales superficies, dotadas con sistemas locales de coordenadas y en las cuales,por tanto, es posible "hacer" Cálculo Infinitesimal, fueron denominadas variedades diferenciables o simplemente variedades. Un subproducto de estos trabajos fue la posibilidad de definir nuevos criterios de clasificación para las superficies.
Pero, en el contexto de las variedades, resulta particularmente apropiado un criterio de clasificación proveniente de otra rama de la Matemática denominadaTopología, la cual frecuentemente se define como la investigación, a un nivel considerablemente abstracto, de aquellas propiedades de las superficies que no son alteradas por "deformaciones continuas". La noción topológica de "deformación continua" es descrita intuitivamente mediante la sugerencia de pensar en las superficies como si fuesen objetos reales hechos de algún material elástico como porejemplo el caucho. De este modo, las superficies pueden ser deformadas cambiando de aspecto. Las "deformaciones continuas", tal como son entendidas por los topólogos, permiten "estirar", "contraer" y "retorcer" pero no "rasgar" ni "romper". Así, un plano puede ser deformado continuamente en un paraboloide de revolución y la superficie de una esfera puede ser deformada continuamente en la...