conjunto de cantor
Páginas: 2 (253 palabras)
Publicado: 18 de junio de 2013
Título: Conjunto de Cantor
Introducción:
El conjunto de Cantor, llamado así por ser introducido por Georg Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal delintervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:
la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresiónen base 3 que no utilice el dígito 1.
la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cadaintervalo.
Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ninumerable. Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido descubierto en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883).
Contenido:
Seconstruye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervaloabierto (1/3; 2/3).
El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
Los pasossiguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
La figura muestra las siete primeras etapas:
El conjunto deCantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay unainfinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor
Introducción:
El conjunto de Cantor, llamado así por ser introducido por Georg Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal delintervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:
la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresiónen base 3 que no utilice el dígito 1.
la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cadaintervalo.
Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ninumerable. Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido descubierto en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883).
Contenido:
Seconstruye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervaloabierto (1/3; 2/3).
El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
Los pasossiguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
La figura muestra las siete primeras etapas:
El conjunto deCantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay unainfinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor
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