conjunto de los numeros naturales

Números Enteros
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos ynegativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra {Z} = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a losprimeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Números Racionales
se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude afracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros {Z}, y es un subconjunto de los números reales {R}.
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto nosolo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son númerosenteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:
2.5 ={25}/{10} = {10}/{4} = {5}/{2}
Propiedades
El conjunto Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enterosZ.
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de Q, es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los númerosirracionales).
Propiedad arquimediana: el conjunto Q es denso en R por construcción misma de R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.

Números Irracionales

un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde  y  son enteros, con  diferente de cero y donde esta fracción esirreducible. Escualquier número real que no es racional.

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Losnúmeros irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional...