Conjunto de partes

Conjunto de Partes

El conjunto de partes de un conjunto X es el conjunto de todos los subconjuntos de X. Esto incluye los subconjuntos formados por todos los miembros de X y el conjunto vacío. Si un conjunto finito X tiene cardinal n, entonces su conjunto de partes tiene cardinal 2n. La notación usada para el conjunto de partes es P(X).
Si un conjunto X es infinito (numerable o no numerable)entonces su conjunto de partes siempre es no numerable. Es más, si X es un conjunto, entonces jamás se puede establecer una biyección entre X y P(X). O en otras palabras P(X) es siempre estrictamente mayor que X.

S es un conjunto de las partes de X, y se denota (x)a:
(x)={A/A⊆x}
Como ejemplo el conjunto de partes de {1, 2, 3} es {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3},∅}. La cardinalidad del conjunto original es 3, y la del conjunto de partes es 2³= 8. X= n tenemos entonces que |(X)|= 2n.

Recordemos la definición de producto cartesiano: 
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.
Relación
Dados dos conjuntosA y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B.
Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1),(c,2)}. Una relación sería R = {(a,1),(c,2)}.
A las relaciones también se les llama correspondencias.
Relación binaria
Dado el producto cartesiano A x A, una relación binaria es un subconjunto G (llamado grafo) de este producto cartesiano. 
Una relación binaria que cumple que para todo elemento a del conjunto A, el elemento (a,a) pertenece al grafo G tiene la propiedad reflexiva.
Una relaciónbinaria que cumple que para todo elemento a del conjunto A, el elemento (a,a) no pertenece al grafo G tiene la propiedad irreflexiva o antireflexiva.
Una relación binaria que cumple que para todo elemento a y b perteneciente al conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G entonces el elemento (b,a) también pertenece al grafo G, tiene la propiedad simétrica.
Una relación binaria tiene la propiedadantisimétrica si para todo elemento a y b perteneciente al conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G y el elemento (b,a) también pertenece al grafo G, entonces a = b. 
Una relación binaria tiene la propiedad transitiva si para todo elemento a, b y c perteneciente al conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G y (b,c) también pertenece al grafo G, entonces (a, c) pertenece al grafo G. 
 
Relación deequivalencia
Una relación de equivalencia es una relación binaria que tiene las propiedades:
Reflexiva: a R a
Simétrica: Si a R b, b R a
Transitiva: Si a R b y b R a, entonces a R c.
Ejemplo: La relación a - b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteros es una relación de equivalencia porque cumple las propiedades:
Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0).
Simétrica: a - b = b - a porque b -a  = -(a - b). Si a - b es múltiplo de 2, -(a - b) también lo será.
Transitiva: a - b = 2.k1   b - c = 2.k2  Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a - c es múltiplo de 2. 
Al conjunto de los elementos del conjunto A que están relacionados con él se llama clase de equivalencia. 
En el ejemplo anterior, la clase de equivalencia del número cero (uno de los elementos del conjunto de los númerosenteros)  C(0) = {... -4, -2, 0, 2, 4, ...}, pues 0 - (-4) es múltiplo de 2, 0 - (-2) es múltiplo de 2 ya sí sucesivamente. La clase de equivalencia del número 1 será C(1) = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} pues la diferencia entre 1 y los números indicados es múltiplo de 2. 
Del mismo modo podríamos calcular las clases de equivalencia de más números. 
El conjunto formado por las clases de...