Conjunto numerico

Unidad IV: Sistema de numeración

Los números se nombraron en los distintos pueblos y tiempos de diferentes maneras.

5 Indio arábigo

Cinco V Romano

vvvvv Babilónico

IIIII Egipcios

五 Chinos – japoneses

Los sistemas de enumeración pueden ser de dos tipos:

1) Proposicionales: Cada símbolo tiene un valor relativo que depende del lugar que ocupa

Sistema deenumeración decimal:

_Porque se utilizan 10 símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

_Cada símbolo se llama cifra,

_Los números formados por una sola cifra se llaman dígitos.

_Los dígitos combinados de acuerdo con ciertas reglas representan a los números naturales.

_Las unidades se agrupan de diez en diez.

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidad demil

_Descomposición de un número

1º Forma de descomponer

1 5 7 8 8 unidades 1578 = 8 + 70 + 500 + 1000
70 unidades

500 unidades

1000 unidades

2º descomposición polinómica:

1578 = 8.100 + 7.101 + 5.102 + 1.103

= 8.1 + 7.10 + 5.100 + 1.1000

= 8 + 70 + 500 + 1000

1578 = 1578

Sistema de enumeración es otra base:

Sistema binario tiene solamente dosdígitos: 0, 1.

Agrupa los elementos de 2 en 2.

45 / 2

05 22 / 2

1 0 11 / 2 4510 = 1011012

1 5 / 2

1 2 / 2

0. 1

1011012 = 1.20 + 0.21 + 1.22 + 1.23 + 0.24 + 1.25

= 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32

= 4510

No procesionales: el valor de cada símbolo no depende del lugar que ocupa.

Sistema de numeración Romano:

|I |V|X |L |C |D |M |
|1 |5 |10 |50 |100 |500 |1000 |

Reglas de combinación:

1.- Cuando se escriban dos símbolos distintos:

a) Si el menor esta a la derecha se suma.

VI = 5 + 1 = 6

b) Si el menor esta a la izquierda se resta

IV = 5 – 1 = 4

2.- solo pueden restarse los siguientes símbolos:

I X CI se resta con V y X

X se resta con L y C

C se resta con D y M

3.- los símbolos I, X, C y M no pueden repetirse más de 3 veces seguidas

4.-para números mayores que MMM se coloca una raya sobre el numeral que equivale a multiplicar por mil.

IV = 4000

Definición de número natural:

Partimos de: conjuntos coordínales o equipotentes

Sea U un conjunto cualquiera. En elconjunto P(U) la siguiente relación: dos elementos de P(U), es decir dos subconjuntos de U son coordínales o equipotentes, si y solo si, existe una biyección del primero en el segundo

A ~ B  ( £: A B / £ es biyectiva

Esta relación satisface:

1) Reflexividad: todo conjunto es coordinable consigo mismo.

2) Simetría si un conjunto es coordinable con otro, este es coordinable con elprimero.

A ~ B => B ~ A

3) Transitividad: si un conjunto es coordinable con otro y este es coordinable con un tercero entonces el primero es coordinable con el tercero.

A ~ B ٨ B ~ C => A ~ C

 Por cumplir la reflexividad, simetría y transitividad esta relación es una relación de equivalencia y por lo tanto se producen “participaciones” en P(U), las cuales reciben el nombre de númeroscardinales y cada uno de esos cardinales representan a un número natural.

C(A) = {x ( P(U) / x ~ A}

Particular

C(() = 0

C({a}) = 1 C({a, b}) = 2

El número cardinal especifica la numerosidad de los elementos del conjunto.

Características generales de N(0)

_Tiene primer elemento (que es el cero).

_No tiene último elemento (es un conjunto infinito).

_Es discreto porque entre dosnaturales existe un Nº finito de naturales que se pueden determinar.

_Todo natural tiene un sucesor y un antecesor excepto el cero (0)

Principio de inducción completa

El principio de inducción completa es un método de demostración por recurrencia. No genera propiedades en los Nº Naturales pero hace posible la demostración de estas en los conjuntos de los naturales.

Si S es un...