Conjunto Resolvente

Conjunto resolvente

In linear algebra and operator theory , the resolvent set of a linear operator is a set of complex numbers for which the operator is in some sense " well-behaved ". En álgebra lineal y la teoría de operadores , el conjunto resolvente de un operador lineal es un conjunto de números complejos para que el operador es en cierto sentido " buen comportamiento ". The resolventset plays an important role in the resolvent formalism . El conjunto resolvente juega un papel importante en el formalismo resolutivo .

[ edit ] DefinitionsDefiniciones

Let X be a Banach space and let Sea X un espacio de Banach y dejar que [pic]be a linear operator with domain un operador lineal con el dominio [pic]. . Let id denote the identity operator on X . Vamos a denotar laIdentificación del operador identidad en X. For any Para cualquier [pic], let , Vamos a
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[pic]is said to be a regular value if se dice que es un valor regular si [pic], the inverse operator to , El operador inverso a [pic]
1. exists; existe;
2. is a bounded linear operator ; es un operador lineal acotado ;
3. is defined on a dense subspace of X . se define en una densa subespacio de X.The resolvent set of L is the set of all regular values of L : El conjunto resolvente de L es el conjunto de todos los valores normales de L:
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The spectrum is the complement of the resolvent set: El espectro es el complemento del conjunto resolvente:
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The spectrum can be further decomposed into the point/discrete spectrum (where condition 1 fails), the continuous spectrum(where conditions 1 and 3 hold but condition 2 fails) and the residual/compression spectrum (where condition 1 holds but condition 3 fails). El espectro se puede descomponer en el punto / espectro discreto (en la condición 1 no), el espectro continuo (donde las condiciones 1 y 3 tienen la condición 2, pero no) y el espectro residual / compresión (en la condición 1 pero no tiene la condición 3) .

[edit ] PropertiesPropiedades

• The resolvent set El conjunto resolvente [pic]of a bounded linear operator L is an open set . de un operador lineal acotado L es un conjunto abierto .

DECIMOS que una figura es convexa si cada vez que tomamos dos puntos en ella, el segmento que los une pertenece también a dicha figura.


Así, por ejemplo, son figuras convexas un círculo, unsemicírculo, una elipse, un paralelogramo, un triángulo, un segmento, un semiplano o un cono (véase figura II.1).

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Figura II.1
Una forma de construir más ejemplos es tomar varias figuras convexas y fijarse en la parte común a todas ellas. Si tomamos dos puntos que estén en la parte común, dado que las figuras son convexas, el segmento que los une estará en cada una de ellas y por tantoen la parte común a todas ellas. Esto es, la intersección, o parte común, de varias figuras convexas es una figura convexa (véase figura II.2).

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Figura II.2




Intuitivamente, una figura es convexa si no está "abollada". Imagínese usted alguna figura "abollada". Notará que es precisamente en la abolladura donde es posible encontrar un segmento cuyos extremos estén en lafigura pero que, sin embargo, debido a la abolladura, parte de él se salga de aquélla (véase la figura II.3).

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Figura II.3
Es más, por aquellos puntos del borde de la figura en donde intuitivamente sentimos que ésta se encuentra abollada, es imposible trazar una línea que no parta a la figura en varios pedazos. En cambio, hay puntos del borde o frontera de la figura —en donde éstano se halla abollada— por donde es posible trazar una línea que deje a la figura completamente de un lado (véase figura II.4).

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Figura II.4
Démosle nombre a este tipo de líneas: A una línea que toca a una figura y que la deja totalmente contenida en uno de los dos semiplanos determinados por ella, la llamaremos línea soporte de la figura. Siendo fieles a nuestra idea...