CONJUNTOS BORROSOS 13 1

I.N.T. “SAN FERNANDO REY” – CONJUNTOS BORROSOS

UNIDAD 1: SUBCONJUNTOS BORROSOS
LOS CONJUNTOS NÍTIDOS O CRISP
Realizaremos una breve revisión de la teoría de conjuntos clásica e introduciremos un
cambio de notación en los conjuntos nítidos o crisp.
REVISIÓN DE LA NOCIÓN DE PERTENENCIA
Un conjunto clásico o nítido es una colección de elementos que tienen una determinada característica. Porejemplo, puede ser el conjunto de elementos que verifican un predicado nítido.
Los predicados nítidos P o las propiedades precisas p permiten clasificar los objetos de su
ámbito de discurso en dos conjuntos nítidamente diferenciados: el de los que verifican la propiedad
p o hacen la correspondiente afirmación “x es P” verdadera y el de los que no verifican la propiedad p o hacen “x es P” falsa.
Alconsiderar un conjunto A, habitualmente “x es un elemento de A” o bien “x pertenece a
A” se indica x  A . Si todo elemento de A pertenece al conjunto E se dice que A está incluido en
E o que A es un subconjunto de E. Simbólicamente A  E , E se denomina conjunto referencial o
universal.
Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado E se lo denomina
“conjunto de partes” o “conjuntopotencia” y se lo indica   E  .
La cantidad de elementos de un conjunto se llama cardinal del conjunto. Si el cardinal de E
es n, el cardinal de   E  es 2n .
Simbólicamente: # E = n #   E  =

2n .

Con el objeto de generalizar la pertenencia se introduce la “función característica o de
membresía  A ” definida de la siguiente manera: la función característica está definida de E (dominio)en el conjunto imagen formado por el conjunto compuesto por los elementos 0 y 1


xA
  x   1
μA :E  0,1 /  A
x A

 A  x   0
Es decir que  A  x   1 indica que x pertenece al conjunto A y  A  x   0 significa que x

no pertenece al conjunto A.  A  x  es el grado de pertenencia.
Símbólicamente el conjunto nítido se representa:

A  x /  A x  /  A : E  o,1x  ELa representación mediante diagrama de Venn es:

Ejemplo:
Sea E = { a, e, i, o, u}
y A = { e, o, u}
Entonces podemos escribir  A  a  =0,  A  e  =1,  A  i  =0,  A  o  =1, y  A  u  =1
Esto nos permite expresar el conjunto A de una forma diferente, en la cual figuran todos los
elementos del referencial con sus respectivos grados de pertenencia
A = { (a/0), (e/1), (i/0), (o/1), (u/1)}Representado mediante el diagrama de Venn.

Se define conjunto vacío, y se lo simboliza ø, como el conjunto nítido tal que

A  x   0; x  E

Para separar los elementos en cada par ordenado puede utilizarse una coma (,) o barra (/).

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OPERACIONES CON CONJUNTOS NÍTIDOS
Sean A y B subconjuntos de E
 Intersección: A  B  x /  A x  /  Ax   mín A x , B x  x  E
 Unión:

A  B  x /  A x  /  A x   mín A x , B x  x  E

 Complemento:

A  x /  A x /  A x   1  A x  x  E

A

A
E
E
E
Sea E = {a, b, c, d, e } ; A = { b ,c ,e} y B = {a ,b, c}
Los conjuntos A y B, según sus elementos y respectivas funciones de pertenencia, sería:
A = { (a/0), (b/1), (c/1), (d/0), (e/1)}
B = {(a/1), (b/1),(c/1), (d/0), (e/0)}
La intersección de los dos conjuntos sería, construyendo un cuadro con sus respectivas
funciones de pertenencia
x
a
b
c
d
e
0
1
1
0
1
 x
A

B  x 

1

1

1

0

0

Calculemos e incorporemos ahora la función de pertenencia para la intersección  AB  x 

A  B  a / 0, b / 1, c / 1, d / 0, e / 0

Los elementos a y d no pertenecen a A y d únicamente pertenece aB. Por lo tanto no pertenecen a la intersección. Su función de pertenencia es cero.
El elemento b pertenece a A y a B. Por lo tanto pertenece a la intersección. Su función de
pertenencia es 1.
El elemento c pertenece a A y a B. Por lo tanto pertenece a la intersección. Su función de
pertenencia es 1.
El elemento e pertenece a A pero no a B. Por lo tanto no pertenece a la intersección. Su...