CONJUNTOS DE LOS NUMEROS REALES

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: 
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. 
El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es decarácter informal. 
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. 
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
En el conjunto de los números enteros, sepueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. 
 Puede notarse que N ÌZ. 

CONJUNTOS DE LOS NUMEROS REALES
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. 
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: 
Q =  / m, n son enteros y n  
La introducción de los númerosracionales responde al problema de resolver la ecuación: 
ax = b, con a, bÎ R, a ¹ 0. 
Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b. 
Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que:
Z Ì Q. 
 
En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá quea, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. 
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Dados los resultados anteriores tenemos que todo número que se representa por una expansión decimal periódica (finita o infinita) es un número racional, pero cabe hacerse dos preguntas:
>Existen expansiones decimales que no sean períodicas?, y si existen,
>quénúmeros representan?
Para contestar la primera pregunta consideremos las siguientes expansiones decimales:

a.

b.

Observe que en las dos expansiones decimales anteriores, éstas no son periódicas y por los resultados anteriores estas expansiones no representan números racionales.
Las expansiones decimales (a) y (b) anteriores reciben el nombre de expansiones decimales infinitas no periódicas.Para contestar la segunda pregunta tenemos:

  
Definición
 
Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de números irracionales.

El conjunto cuyos elementos son los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números irracionales y se denota con el símbolo.
Observación: Por la definición de número racionaly la de número irracional se tiene que no existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente esto se indica de la siguiente manera:


Tom: Hi! My name is Tom. What's your name?

Dan: I'm Dan / My name is Dan

Tom: I'm glad to meet you!

Dan: I'm glad to meet you too!
Tom: Hola! Mi nombre es Tom. ¿Cuál es tu nombre?

Dan: Soy Dan / Minombre es Dan

Tom: Estoy contento de conocerte!

Dan: Estoy contento de conocerte también!

Augusto - Hi Salvador!
Salvador - Hi Augusto! How are you?
Augusto - Fine, thanks. Where are you from?
Salvador - I am from Uruguay. What about you?
Augusto - I am from Argentina.
Salvador - How old are you ?
Augusto - I am 22 years old, what about you?
Salvador - I am 25 years old.
Augusto- Where are you from in Uruguay?
Salvador - I am from Punta del Este. What about you?
Augusto - I am from Buenos Aires.
Augusto - Hola Salvador!
Salvador - Hola Augusto! ¿Cómo estás?
Augusto - Bien, gracias. ¿De dónde eres?
Salvador - yo soy de Uruguay. ¿Qué hay de ti?
Augusto - yo soy de Argentina.
Salvador - ¿Cuántos años tienes?
Augusto - tengo 22 años, ¿y tú?
Salvador -...