Conjuntos Numericos

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Unidad Nº 1 de Álgebra
TEMAS: 
1.- Números Naturales (IN)
2.- Números Cardinales (IN0) 
3.- Números Enteros (Z)
4.- Números Racionales (Q)
5.- Ejemplos prácticos
6.- Números Irracionales (Q*)
7.- Números Reales (IR)
8.- Números Imaginarios (II)
9.- Números Complejos (C)
[pic]
1. Números naturales (IN)
Conjunto de la forma
Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,...} ⇒ Z= Z -∪ IN0 ó Z = Z -∪ {0} Z+
Consecutividad numérica
Sucesor
Todo número natural tiene un sucesor y se obtiene sumando 1 al número.
En consecuencia, si n ? IN, su sucesor será n+1.
Ejemplo:
El sucesor de 31 es 32.
Antecesor
Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor y se obtiene restando 1 al número.
En consecuencia, si n ? IN, su antecesor será n-1.
Ejemplo:
El antecesorde 104 es 103.








Paridad e imparidad
El conjunto de los naturales se divide en 2 subconjuntos: pares e impares.
Números pares
Son de la forma 2n, n ? IN, entonces los números pares son {2, 4, 6, 8, 10…}
Sucesor par
Se obtiene sumando 2 al número. 
Si el número es 2n su sucesor par es 2n+2
Ejemplo:
El sucesor par de 208 es 210.
Antecesor par
Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n su antecesor par es 2n-2
Ejemplo:
El antecesor par de 574 es 572.
Números impares
Son de la forma 2n-1, n ? IN, entonces los números impares son: 
{1, 3, 5, 7, 9, 11… }
Sucesor impar
Se obtiene sumando 2 al número. 
Si el número es 2n-1 su sucesor impar es 2n+1
Ejemplo:
El sucesor impar de 913 es 915.
Antecesor impar
Se obtiene restando 2 al número. 
Si el númeroes 2n-1 su antecesor impar es 2n-3
Ejemplo:
El antecesor impar de 51 es 49.
Números primos
Son aquellos divisibles por 1 y por sí mismos.
Conjunto de números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
[pic]"El primer elemento de este conjunto, es decir, el "1", por definición, no es primo".

Múltiplos y divisores
Múltiplos
Se obtienen al multiplicar los números naturales por undeterminado número.
Ejemplo:
Múltiplos de 5 ={5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
Divisores
Son aquellos que dividen exactamente a un determinado número.
Ejemplo:
Para determinar los divisores de 8, debemos encontrar los números que lo dividen exactamente.
El 3 no es divisor de 8, ya que 8:3 = 2,66666…

Por lo tanto:
Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8} , es decir, el 8 tiene 4 divisores.
|[pic]|Para determinar rápidamente los divisores de un número, existen las reglas de divisibilidad. Dichas reglas se |
| |encuentran en tu libro, en la página 16. |


Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Mínimo Común Múltiplo
Corresponde al menor de los múltiplos comunes.
Ejemplo:
Calcularel m.c.m. entre 6, 9 y 12.

Solución: 
Se realizan divisiones sucesivas por los factores primos hasta lograr un 1 en cada columna.
[pic]
Máximo común divisor
Corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

Ejemplo:
Determinar el máximo común divisor entre 36, 18 y 24
Se divide por números primos que sean divisores de todos los números.
[pic]
Operaciones en los númerosnaturales
Las operaciones aritméticas que se definen en este conjunto, son las siguientes:
Adición
Sean dos números naturales a y b, la adición de números naturales se expresa por:
a+b.
Propiedades:
Clausura 
(a+b) ? IN , para todo a, b ? IN
Ejemplo:
5+3 = 8, de tal forma que 8 ? IN
Conmutativa 
a+b = b+a, para todo a, b ? IN
Ejemplo:
5+3 = 3+5 ⇒ 8 = 8
Asociativa 
a + (b+c) = (a+b) +c, para todo a, b, c ? IN
Ejemplo:
2 + (3+5) = (2+3) + 5 ⇒ 10 = 10
[pic]No existe elemento neutro para la adición.
Sustracción
Sean dos números naturales a y b, la sustracción o diferencia de números naturales se expresa por (a–b), con:
(a-b) ? IN si y sólo si a>b, para todo a, b ? IN, con a: "minuendo" y b:"sustraendo"
Ejemplo:
5 > 3 ⇒ 5-3 = 2 ? IN
10 < 18 ⇒ 10-18 = -8 [pic] IN...