Conjuntos numeros

Teoría de Conjuntos
 
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A.
 
Ejemplos de conjuntos: 
o ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.
 
Se puede definir un conjunto:
o porextensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
 
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p∈ Z | p es par}
 Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a ∈ A ⇒ a ∈ B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A ⊆ B y B ⊆ A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedadcaracterística).
Para cualquier conjunto A se verifica que ∅⊆ A y A ⊆ A;
B ⊆ A es un subconjunto propio de A si A ≠ ∅ y B ≠ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota ℘ (A).
Entonces, la relación B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ ℘ (A). Ejemplos:
 
Si A = {a,b} entonces ℘ (A) = {∅ ,{a},{b},A}.Si a ∈ A entonces {a} ∈℘ (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A − B := {a ∈ A | a ∉ B}.
Asimismo, se llama diferencia simétricaentre A y B al conjunto A Δ B := (A − B) ∪ (Β − A).
Si A ∈ ℘ (U), a la diferencia U − A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
o ∅ ' = U .
o U ' = ∅ .
o (A')' = A .
o A ⊆ B ⇔ B' ⊆ A' .o Si A = { x ∈ U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x ∈ U | p(x) es una proposición falsa}.
 
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,es decir: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A − B = A ∩ B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
|PROPIEDADES |UNION |INTERSECCION|
|1.- Idempotencia |A ∪ A = A |A ∩ A = A |
|2.- Conmutativa |A ∪ B = B ∪ A |A ∩ B = B ∩ A |
|3.- Asociativa...