conjuntos numéricos

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Material 01
1.1. Números naturales (IN)

Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y aún se utilizan para contar y ordenar cosas.

El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de unconjunto. 

Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el símbolo IN, esto es:
IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos, cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restandouno (-1). Si al conjunto de los números naturales se le une el número cero, este nuevo conjunto se denota con el símbolo IN0, esto es, el conjunto de los números Cardinales:
IN0 = {0, 1, 2, 3 ...}.
Es posible establecer una correspondencia entre los números naturales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera. 

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de éstapara representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1), a este segmento le llamamos segmento unidad. Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad, para así representar los números 1, 2, 3, 4,... (en este orden) que se encontrarán a la derecha del cero.

En una recta numérica el punto que representa el cerorecibe el nombre de origen.

Una representación gráfica de IN0 en la recta numérica se muestra en la figura 1:

Figura 1. IN0 en la recta numérica.

De IN y IN0 se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran: 

• El Conjunto de los números pares es un subconjunto de IN0  donde:
{x Є IN0 / x=2n, n Є IN0 } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}.

• El Conjunto de los números impares esun subconjunto de IN0 donde:
{x Є IN0 / x=2n + 1, n Є IN0 } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}.
 
Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en común y que si se unen ambos, forman el conjunto IN0

• El conjunto de los Múltiplos de un número es un subconjunto de IN donde:
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de losnaturales. Los múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:
 {1·n, 2·n, 3·n, 4·n,...}.
Ej. Los múltiplos de 4 se forman 4 o sea,
Escribe los múltiplos de :
3 =
10 =
5 =
15 =

• El conjunto de los Divisores de un número es un subconjunto de IN donde:
Llamamos divisores de un número, a todo el conjunto de números que lo divide exactamente. Los primeros divisores de unnúmero son el 1 y el mismo número.
Ej. Los divisores de 30 son , ya que 30:1 = 30, 30:2 =15 ,30:3= 10 ,etc.
Escribe los divisores de:
60 =
54 =
20 =
120 =



• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN donde:
El número natural p>1 es un número primo si sus únicos divisores son 1 y p.
OBS :Todos los números que no son primos se llaman compuestos.

Algunos númerosprimos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.

Escribe los números como producto de números primos
15=
42=
16=
75=

2.1. Números enteros (Z)

Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en IN0.

Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia laizquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero. 

Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. 

Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números...