conjuntos y conteo


UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA - CALI
PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS


LÓGICA
GUÍA DE TRABAJO No 3
TEMA: CONJUNTOS Y PROBLEMAS DE CONTEO
Profesor: Walter G. Magaña S.

CAPITULO 3

CONJUNTOS


Objetivos:

1. Resolver operaciones entre conjuntos.

2. Analizar y resolver problemas aplicando las leyes del álgebra de conjuntos y el principio del conteo.




La teoría de conjuntos tieneimportantes aplicaciones en la estadística y en el manejo de datos en la programación. En esta sección se inicia por los conceptos y las operaciones básicas de los conjuntos, con algunas aplicaciones en los conjuntos numéricos, hasta terminar en el análisis y la solución de problemas aplicando las leyes del álgebra de los conjuntos y el principio del conteo.

4.1 IDEA INTUITIVA
El término conjunto nose puede definir, es decir, no existen palabras más sencillas para expresar su significado. Algunas ideas intuitivas de conjunto las proporcionan una colección, reunión o agrupación de objetos o entes de cualquier índole (números, libros, empresas, personas, ideas abstractas, resultados de experimentos, cuentas financieras, entre otros) con o sin relación entre ellos.


4.2 NOTACIÓN
Parasimbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas como A, B, C,. . ., A, B, C,. . . . En cada caso debe aclararse el significado preciso del símbolo que se está utilizando. Los objetos individuales que forman el conjunto se denominan elementos; este es otro término que no se puede definir. Los elementos se simbolizan con letras minúsculas del alfabeto: a, b, c,. . .


4.3 RELACIÓN DEPERTENENCIA
La relación que existe entre un conjunto y sus elementos, es la relación de pertenencia, que se simboliza con la letra griega  (épsilon). La relación de pertenencia, al igual que los términos conjunto y elemento, no se puede expresar en palabras más sencillas, con ella determinamos si un elemento pertenece o es miembro de un conjunto, o no pertenece o no es miembro del conjunto. Esto es: Si xes un objeto y A es un conjunto, se escribe x  A, para simbolizar la proposición “x es un elemento de A” o “x pertenece a A”, y se escribe x  A para indicar que “x no es un elemento de A” o “x no pertenece a A”, es decir la negación de x  A; por lo tanto  (x  A)  (x  A).

Se utilizan llaves para encerrar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, A = a, b, c, d y podemosafirmar que a  A y m  A.


4.4 AXIOMAS BÁSICOS
Los dos axiomas siguientes son los requisitos elementales para que exista un conjunto.

4.4.1 AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD
En este axioma se establece la igualdad de dos conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales, se escribe A = B, si y sólo si poseen los mismos elementos. Se expresa así:
A = B  ( x) (x  A  x  B)
Algunas consecuenciasinmediatas de este axioma son:

i. No tiene importancia el orden en que se listen los elementos. Por ejemplo: Sean los conjuntos A = 1, 3, 5 y B = 3, 5, 1 , con base en el axioma se tiene que A = B.

ii. No importa si un elemento se escribe más de una vez. En general, los elementos de un conjunto deben ser distintos, si uno de ellos se repite debe contarse una sola vez. Por ejemplo, elconjunto C = 1, 3, 3, 3, 5, 5 es igual a los dos conjuntos anteriores A y B establecidos en i.; esto es, A = B = C.

Si un conjunto A posee al menos un elemento que no pertenece a otro conjunto B, ambos son distintos, es decir que A  B (se lee “A es diferente de B” o “A no es igual a B”).

Si los elementos del conjunto están subindizados, entonces se entiende que los elementos son distintos; porejemplo los conjuntos A = {a1, a2, a3, a4} y B = {b1, b2, b3, b4} son distintos: A  B.


4.4.2 AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN (O SEPARACIÓN)
Este axioma establece una forma de construcción de un conjunto, conocida como determinación de un conjunto por comprensión. Sea A un conjunto dado y P(x) una función proposicional tal que para cada x0  A, P(x0) es una proposición que puede ser verdadera o...