conjuntos y permutaciones


Introducción a la probabilidad y valor esperado
1.- Teoría de conjuntos
2.- Combinaciones y permutaciones
3.- Introducción a la probabilidad
4.- Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes
5.- Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional
6.- Teorema de Bayes
7.-Valor esperado o esperanza matemática.
Fecha: 02/Octubre/2013

..Introducción..

Para extender losresultados del estudio descriptivo de las variables estadísticas a poblaciones que no se observan completamente, es necesario utilizar la idea de modelo probabilístico. En esta parte, se introduce, en primer lugar, la noción de probabilidad como idealización del concepto
de frecuencia relativa. A continuación se presenta la probabilidad condicionada y la definición de independencia. El conceptobásico para la construcción de modelos probabilísticos es el de variable aleatoria; el estudio que aquí se realiza es paralelo al que se ha hecho en la primera parte con las variables estadísticas, considerándose su distribución de probabilidad, su media (o valor esperado), varianza, etc. Esta parte finaliza con el estudio de algunas distribuciones de probabilidad bien conocidas.

1.-Teoría deConjuntos.
Definición.
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Yasean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decirque dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjuntoson llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así: 
{ a, b, c, ..., x, y, z} 
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,). 
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos. 
Dosconjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a } 
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
Propiedades.
Sean los conjuntos, A ,B C dentro del universo U . Las seispropiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:

1. Propiedades de identidad:
A∪ φ = A
A∪U = U
A∩U = A
A∩φ = φ
2. Propiedades de idempotencia:
A∪ A = A
A∩ A = A
3. Propiedades de complemento:
A∪ 'A = U
A∩ 'A = φ
4. Propiedades asociativas:
(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)
(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)
5. Propiedades conmutativas
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
6. Propiedadesdistributivas
A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)
Operaciones básicas.
Union
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A  B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A  B = { x/x  A ó x  B } 
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A  B ={ 1, 3, 5, 7, 9,...