conjuntos

Apuntes de Matem´tica Discreta
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1. Conjuntos y Subconjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
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C´diz, Octubre de 2004
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Universidad de C´diz
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Departamento de Matem´ticas
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ii

Lecci´n 1
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Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Determinaci´n porExtensi´n . . . . . . . . .
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1.1.3 Determinaci´n por Comprensi´n . . . . . . .
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1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Conjunto Vac´ . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.6 Axioma de Extensi´n . . . . . . . . . . . . .
o
1.2 Inclusi´n de conjuntos . . . . . . . . . . . . .
o
1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Inclusi´nEstricta . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2.3 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2.4 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.5 Caracterizaci´n de la Igualdad . . . . . . . .
o
1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Transitividad de la Inclusi´n . . . . . . . . .
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1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . .

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Un conjunto es la reuni´n en un todo de objetos de nuestra ino
tuici´n o de nuestro pensar, bien determinados ydiferenciables
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los unos de los otros.
Georg Cantor (1845-1918)

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem´ticas modernas. La mayor´ de los
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matem´ticos creen que es posible expresar todas las matem´ticas en el lenguaje de la teor´ de conjuntos.
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Nuestro inter´s en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´ticas como a su
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autilidad en la modelizaci´n e investigaci´n de problemas en la inform´tica.
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Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor1 . Despu´s de que la
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teor´ de conjuntos se estableciera como un ´rea bien definida de las matem´ticas, aparecieron conıa
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tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones
m´ssofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ de conjuntos se
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ocupa, generalmente, de la teor´ elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor.
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Utilizaremos esta aproximaci´n m´s simple y desarrollaremos una teor´ de conjuntos de la cual es posible
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1 Georg Cantor. Matem´tico alem´n de origen ruso (San Petesburgo1845-Halle 1918). Despu´s de estudiar en Alemania,
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fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´ numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el
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creador de la Teor´ de los conjuntos.
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Departamento de Matem´ticas
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derivar contradicciones. Parece extra˜o el proponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones
nno son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A´n
u
m´s, la existencia de las paradojas en la teor´ elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya
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que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante sistemas alternativos en los que las
paradojas no ocurren.

1.1

Generalidades

Definimos los conceptos...