conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
Prof. Fabián Vitabar (fvitabar@gmail.com)

El objetivo de estas notas es dar a los estudiantes del curso de Fundamentos de la Matemática una
aproximación inicial a la Teoría de Conjuntos, teniendo en cuenta que habrá muchas oportunidades de
ampliar estos conceptos a lo largo del curso cuando el mismo así lo requiera. Lo que se busca es determinar
claramente cuál es laestructura sobre la que se articula esta teoría, asegurando la coherencia lógica y
encadenando los conceptos relacionados.
Estos apuntes servirán como una primera aproximación, o bien como una especie de esquema que
ayude a seleccionar los contenidos más pertinentes, pero en todos los casos se aconseja fervientemente que
una vez que se haya captado la esencia de los conceptos, se dedique unesfuerzo a ampliar la información
recurriendo a alguno de los materiales recomendados en la bibliografía del curso.†

1
1.1

Preliminares
Conceptos primitivos
Para poder edificar una teoría, debemos establecer un punto de partida que sea incuestionable,

sustentado por el sentido común y que refleje ciertos conceptos consensuados por la comunidad a quien
interesa este conocimiento. Estosconceptos no serán puestos en cuestión, y serán el fundamento para
elaborar los nuevos, y los llamamos conceptos primitivos.
En nuestro caso, consideramos tres conceptos primitivos: conjunto, elemento y pertenencia.
Para la notación, utilizaremos (por lo general, pero no siempre) letras mayúsculas para los conjuntos,
letras minúsculas para los elementos, y el símbolo " ∈ " para decir “pertenece”(o bien " ∉ " para decir “no
pertenece). De este modo, “ a ∈ B ” se lee “el elemento a pertenece al conjunto B ”, y “ x ∉ R ” se lee “el
elemento x no pertenece al conjunto R ”.

1.2

Formas de determinación y representación de un conjunto
Consideraremos que un conjunto está determinado, cuando es posible identificar inequívocamente

cuáles son los elementos que pertenecen a eseconjunto. Es decir, dado un elemento cualquiera de un conjunto
universal (que habitualmente se nota con la letra U ), el conjunto estará bien determinado si es posible
decidir si ese elemento le pertenece o no.
Es común definir los conjuntos de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Definir un conjunto por extensión implica nombrar todos y cada uno de los elementos que le
pertenecen. Comonotación, escribimos los elementos entre llaves y separados por comas. Por ejemplo,

A = {a, e, i, o, u } .

†

Se sugiere aprovechar el texto: Rojo, Armando (1978). Álgebra 1. Buenos Aires: El Ateneo. También puede

ser útil, aunque aborda los temas con mayor amplitud: Grimaldi, Ralph (1997). Matemáticas discretas y
combinatoria. Una introducción con aplicaciones. México: Pearson Educación.Puede haber diferencias entre
la notación utilizada en los textos y la manejada durante el curso.

Prof. Fabián Vitabar

2008

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TEORÍA DE CONJUNTOS

Definir un conjunto por comprensión implica dar una característica que sea exclusiva de todos sus
elementos. Esta condición será verdadera para cada elemento del conjunto, y será falsa para cualquier
elemento que no pertenezca alconjunto. Por ejemplo, A = {x | x es una vocal} .
Para representar un conjunto, también es usual aprovechar los diagramas de Venn-Euler. En este
caso:

A

a
e

1.3

i

o
u

Conjunto vacío
Llamaremos conjunto vacío a aquél que no tiene elementos. Los simbolizamos ∅ = { } .

1.4

Inclusión
Dados dos conjuntos A y B , decimos que A está incluido en B (lo notamos A ⊂ B ) cuando todoslos elementos de A también pertenecen a B .
En símbolos: A ⊂ B ⇔ ( ∀x ), x ∈ A → x ∈ B .
En este caso, es equivalente decir que A está incluido en B , y decir que A es un subconjunto de B .
Cabe aclarar que la inclusión es una relación entre dos conjuntos, no así la partencia que vincula un
elemento con un conjunto. Muchas veces un conjunto puede adoptar el rol de elemento, de acuerdo a...