Conjuntos

INDUCCION MATEMÁTICA

1. INTRODUCCION:

En el lenguaje cotidiano, la palabra INDUCCION tiene un significado
de generalización a partir de hechos particulares.

En efecto, la

habilidad de formular hipótesis generales a partir de unas suposiciones
iniciales limitadas es una de las principales características de la
creatividad de que se debe verificar su autencidad. Para ello, existe
unmétodo de razonamiento deductivo denominado INDUCCIÓN
MATEMATICAS, calificado como un procedimiento eficaz.

Utilicemos

un ejemplo para visualizar

supongamos como hipótesis: “la suma

el proceso inductivo
de los enteros impares

consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:

1 :1
1 + 3 :4
1 + 3 + 5 :9
1 + 3

+ 5 + 7 : 16

1 + 3 + 5

+ 7 + 9 : 25

Se puedegeneralizar el resultado siguiente. En efecto, cada resultado
es el cuadrado del número de términos que se sumaron. Podemos
lanzar la

siguiente conjetura inductiva “la suma de los primeros

números impares es n² para todo entero positivo n.

Simbólicamente podemos escribir:
1

+

3

+

5

+

7

+

...

+

(2n − 1) = n 2

Esta hipótesis debe ser comprobar su validez paratodos los enteros
positivos. El método de demostración más eficaz es el principio de
inducción matemática.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMATICA

INTRODUCCION:

1. CONJUNTOS INDUCTIVOS
Un conjunto S de números es un conjunto inductivo si y solo sí
cumple las siguientes condiciones:

1) 1

∈ s

2)

1∈ s ⇒ a + 1∈ s

Ejemplos:

1) El conjunto de los números enteros positivos esun conjunto
inductivo.

2) El conjunto de los reales positivos es un conjunto inductivo.

2. LOS POSTULADOS DE PEANO
El matemático Italiano GUISEPPE PEANO (1858-1932) en su
“proyecto formulario” que es una enciclopedia de matemáticas que
contenía fórmulas y teoremas, enuncia los valiosos aportes a la
teoría de conjuntos y sus famosos postulados que llevan su apellido.
Veamos:

P :Existe un elemento 1 ∈ N
1
P2 : Para todo a a ∈ N ,

P3 : Para todo a ∈ N ,

existe su sucesor

a + 1∈ N

su sucesor es distinto de 1, es decir, que

uno no es sucesor ningún positivo.

P4 : Dados a, b ∈ N ,

con el mismo sucesor entonces, los dos

números son iguales; es decir, si

P5 :Si K es una clase, 1 ∈ k

a +1 = b +1⇒ a = b

y si para

x∈N : x∈K

implica

x + 1∈ KEl quinto postulado de PEANO se le conoce con el nombre de
principio de inducción matemática

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMATICA

Supongamos un conjunto de enteros
proposición de la forma: para todo

A = {n / n ≥ a}

y una

n de A, Pn .

Podemos comprobar la validez de la proposición

Pn ,

utilizando el

principio de inducción matemática que consta de 3 pasos:

1. Secomprueba que

Pn

se cumple para el primer valor de

verdad,es decir, n =1
2. Se supone que
que k=1 y

Pn

k ∈ 1.

se cumple para un valor de

n = k,

tal

Este paso se toma como una hipótesis

denominada HIPOTESIS INDUCTIVA.

3. Se demuestra que cumple para
toma como tesis del teorema
INDUCTIVA.

n = k + 1.

Este paso se

y se denomina TESIS

En conclusión: Lainducción matemática consiste en demostrar que si

Pk

Pk + 1 también es

es verdadera, entonces también es verdadera

verdadera.

Ejemplos

n ≥1

1. Para

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n − 1) = n 2
Solución
Sea:

Pn : 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n − 1) = n 2

A = {n ∈ N / Pn es verdadera}
1.

P:
1

Es verdadero, puesto que

(1)2 = 1

2.

Se supone que se cumple para

n =k2

Debemos comprobar que se cumple para

y 1∈ A

n = k +1

Pk + 1 : 1 + 3 + 5 + +... + k + 2k − (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = (k + 1)

2

3. Se parte de

Pk + (2k + 1) = Pk + 1
K 2 + (2k + 1) = K 2 + 2k + 1

Así,

K ∈ A ⇒ k + 1∈ A y A

2. Para

es conjunto inductivo

n ≥ 1, demostrar :

1 + 2 + 3 + ... + n =

n (n + 1)
2

Solución:

Tenemos

n (n + 1)
2
{n ∈ N...