conjuntos

Conjuntos
Notación de conjuntos
Se utilizarán las letras mayúsculas, tales como A, B y C para nombrar conjuntos. Por
ejemplo:

A   ,2,3
1

B  2,5,6

C  a, e, i, o, u

D  #, &,*,@

Es bastante corriente dibujar los conjuntos esquemáticamente, una simple curva
cerrada representa el conjunto y en su interior se disponen todos los elementos que
pertenecen a él. A estosesquemas se les denomina diagramas de Venn.
A

B
1

5

2
3

6

D

C
u

a
i

@
o

e

*
#
&

A cada objeto de un conjunto se le llama elemento de él. Se dice que dicho elemento
pertenece al conjunto. Simbólicamente:
3 A
5 A

significa que " el número 3 es un elemento del conjunto A " , o " 3 pertenece a A "
significa que " el número 5 no es un elemento del conjuntoA " , o " 5 no pertenece a A"

Conjunto Vacío
Un conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío.
Pero, ¿existen conjuntos vacíos?. ¿Cómo se podrían determinar?
Consideremos el conjunto A formado por todos los triángulos de cuatro lados.
¿Está bien determinado?. ¡Sí! : Podemos saber exactamente si un objeto le pertenece
o no.
Sabemos que ningún triángulo tiene cuatro lados. Porlo tanto este conjunto no tiene
ningún elemento. Es un ejemplo de conjunto vacío.
 es el símbolo utilizado para nombrar al conjunto vacío
 = 

El conjunto B de los números “x” que cumplen : x + 5 = x + 3 , ¿es un conjunto vacío?
Sí porque no existe un número que cumpla esa condición.

1

Formas de determinar un conjunto
Ya hemos visto dos formas de determinación de conjuntos. Unaforma gráfica
(llamada: diagramas de Venn) y otra listando todos sus elementos entre corchetes
(llamada: por extensión).
Veamos algunos inconvenientes de estas formas. Si un conjunto tiene 4789 elementos,
su representación por diagramas o extensión es posible, pero poco práctica. Peor aún,
si el conjunto que se quiere determinar es infinito, su representación no sería posible.
Existe unatercer forma denominada “por comprensión” que es especialmente
adecuada para representar conjuntos infinitos.
¿Qué significa determinar un conjunto por comprensión?
Por ejemplo, el conjunto {números pares} está bien determinado porque podemos
decidir si un número pertenece o no a él; y además es un conjunto infinito. No se
nombran uno a uno sus elementos sino que se da una propiedad común a todosellos y
a ningún otro. Esto es representar un conjunto por comprensión.
Hasta ahora se han proporcionado unos pocos ejemplos. ¿En cuál de los ejemplos
anteriores, el conjunto está determinado por comprensión?

Notación para conjuntos determinados por comprensión

Conjunto
Nombre

P   x / x es un número par
Toda “x”

tal que
(que cumple que)



Propiedad, regla
o condiciónVeamos otro ejemplo:
Si D es el conjunto de todos los números x tales que x2 = 4 , podemos determinarlo
tanto “por comprensión” como “por extensión”





D  xZ / x  4
2

D   2 , 2

D
y representarlo

2

-2

2

Igualdad de Conjuntos
Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Es decir, A=B , sí y sólo si todo elemento de A pertenece a B ytodo elemento de B
pertenece a A.
Simbólicamente:

x
para todo elemento x

 x  A  x  B

A=B 
 y  B  y  A

 si y sólo si

 implica que

Consecuencias de la definición de igualdad de conjuntos son:
 Si A = B , las letras A y B son nombres distintos para el mismo
conjunto.
 Existe un único conjunto vacío
 Los conjuntos a , b , c , a , a , b , b , c , c y a, a , c , b , a , c
son él mismo conjunto. (Los tres tienen los mismos elementos. Por lo
tanto no es útil repetir elementos en la escritura por extensión y tampoco
es importante el orden en que se escriben).

Inclusión de Conjuntos
Considere el siguiente ejemplo:

A = 4 , 5 , 7
B

A

2
1

5

4
6
3

7

B=1,2,3,4,5,6,7

Todos los elementos de A son también elementos...