Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIDO URDANETA, SALVADOR PINTOS Y DANIEL FINOL

Revisado por: Suheiry Luzardo, Gustavo Meza, Luis Montiel, Adin Rangel, Jaime Soto y Claudia Vielma

Í NDICE 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2. 2.1. 2.2. 3. 4. 5. 6. 7. 7.1. 7.2. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 9. 10. 10.1. 10.2. 10.3. 11. 11.1. 11.2. Introducción a la Lógica Conectores Lógicos Variables Conectores condicionales CuantificadoresConjuntos Inclusión Notación Operaciones Relaciones Relaciones de Equivalencia Relaciones de Orden Funciones Tipos de Funciones Composición de funciones Números Naturales Axiomas de Peano Orden en los números naturales Aritmética en los números naturales Cardinalidad Números Enteros Orden en los números enteros Aritmética Cardinalidad Números Racionales Aritmética Orden
1

2 2 4 4 5 6 7 8 8 11 1314 16 16 16 17 17 19 20 21 22 23 23 24 25 25 26

Date: Febrero-2005.

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11.3. 12. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 13. 13.1. 13.2. 13.3.

Cardinalidad Números Reales Representación de racionales en una recta Definición de los números reales Aritmética Orden Expansión decimal Cardinalidad Números Complejos Aritmética Representación geométrica Algunas propiedades26 27 27 28 29 30 31 31 31 32 32 33 33

Referencias

1.

I NTRODUCCIÓN

A LA

L ÓGICA

La lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto. Los métodos lógicos se utilizan en matemáticas para demostrar teoremas. Una proposición es una afirmación que es verdadera o falsa, pero no ambas. Por ejemplo las siguientes afirmaciones sonproposiciones: Todos los carros tienen siete ruedas Para todo número entero x se cumple que si x > 0 entonces 2x > 0 Las siguientes oraciones no son proposiciones: Continúe leyendo ¿De qué color te pintaste el pelo? En lo que resta de sección, se utilizarán letras minúsculas o mayúsculas como p, q, P y Q para representar proposiciones. 1.1. Conectores Lógicos. Los conectores lógicos son símbolos quepermiten construir proposiciones más complejas a partir de proposiciones existentes. Los conectores más fundamentales son la conjunción, la disyunción y la negación. 1.1.1. Conjunción. La conjunción de p y q, denotada p ∧ q, es la proposición “p y q”. Esta proposición sólo es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas. Si al menos una de las proposiciones es falsa entonces la conjunción es falsa.Esto se muestra mediante la siguiente tabla de verdad: p F V F V q p∧q F F F F V F V V

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1.1.2. Disyunción. La disyunción de p y q, denotada p ∨ q, es la proposición “p y/o q”. Esta proposición sólo es falsa cuando tanto p como q son falsas. Si al menos una de las proposiciones es verdadera entonces la disyunción es verdadera. Esto se muestra mediante la siguiente tablade verdad: p F V F V q p∨q F F F V V V V V

1.1.3. Negación. La negación de p, denotada ¬p o p, es la proposición “no p”. Si p es verdadera, ¯ entonces la negación de p es falsa y si p es falsa, la negación de p es verdadera. Esto se muestra mediante la siguiente tabla de verdad: p ¬p F V V F 1.1.4. Propiedades. A continuación algunas propiedades de la conjunción, disyunción y negación.Theorem 1.1. Para toda proposición p,q,r se cumple 1. Conmutatividad p ∧ q es equivalente a q ∧ p 2. Asociatividad p ∨ q es equivalente a q ∨ p

(p ∧ q) ∧ r es equivalente a p ∧ (q ∧ r) 3. Idempotencia

(p ∨ q) ∨ r es equivalente a p ∨ (q ∨ r) p ∧ p es equivalente a p

4. Distributividad

p ∨ p es equivalente a p

p ∧ (q ∨ r) es equivalente a (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 5. Doble negación 6. Leyes deDeMorgan:

p ∨ (q ∧ r) es equivalente a (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ¬¬p es equivalente a p ¬(p ∧ q) es equivalente a ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) es equivalente a ¬p ∧ ¬q

Demostración. Todas las propiedades se demuestran fácilmente construyendo las correspondientes tablas de verdad.

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1.2. Variables. Con mucha frecuencia, es necesario construir proposiciones que dependan de objetos...