Conjuntos

DEFINICION DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además,cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}
Los conjuntos puedenser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que suestudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.
Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Un conjunto es una colección arbitraria deobjetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos y se acepta que hay una relación de pertenencia entre elementos y conjuntos. También se acepta un conjunto universo previamente definido donde se encuentran todos los elementos necesarios para un estudio determinado.
La relación de pertenencia ∈; cumple la condición de que dado un elemento x del universo y un conjunto cualquiera A, x pertenecea A es una proposición lógica o sea que siempre es verdadera o falsa, cuando es verdadera se representa: x ∈ A, cuando es falsa se utiliza x ∉ A.

Descripción de un conjunto
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos:
A es el conjuntocuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
B es el conjunto de colores de la bandera de México.
La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos de los conjuntos entre llaves:
C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}
Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, amenudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:
El conjunto de las vocales en español = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

DESARROLLO HISTORICO DE LOS CONJUNTOS
George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX yprincipios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y...