Conjuntos

CONJUNTOS

1.1 Conceptos básicos de la Teoría de conjuntos
En el estudio de cualquier rama de la Matemática, se análisis, algebra o geometría, resulta útil emplear la notación y la terminología de la teoría de los conjuntos. Esta teoría, que fue desarrollada por Boole y cantor a fines del siglo XIX, ha tenido una influencia en el desarrollo de la matemática en el siglo XX. Ha unificado muchasideas aparentemente inconexas y ha contribuido a reducir gran número de conceptos matemáticos a sus fundamentos lógicos por un método elegante y sistemático. Un estudio riguroso de la teoría de conjuntos requeriría una amplia discusión que consideramos fuera del alcance. Por fortuna, las nociones básicas son un en numero reducido, y es posible desarrollar un conocimiento practico de los métodos eideas de la teoría de conjuntos a través de una discusión informal. En realidad, no vamos a hacer una discusión de la moderna teoría de los conjuntos, si no precisar en la terminología que deberemos aplicar a las ideas más o menos familiares.1

CONJUNTO: En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquiercosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}
Un conjunto quedadefinido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el SistemaSolar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, sonel concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.2

1.2 Notación de conjuntos
Corrientemente se los conjuntos se designan con letras mayúsculas: A, B, C,…X, Y, Z; y los elementos con minúsculas:a, b, c,…, x, y, z. utilizamos la notación:
x ∈ s
Para indicar que “x” es un elemento de S o que “x” pertenece a S. si x no pertenece a S escribimos x ∉ S. Cuando convenga, designaremos conjuntos escribiendo los elementos entre corchetes; por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos pares menores que 10 se expresa con el símbolo {2, 4, 6. 8} mientras que el conjunto de todos los enteros serepresenta {1, 2, 3,…}; los tres puntos significan “y así sucesivamente”. Los puntos suspensivos tan solo se utilizan cuando el significado de “y así sucesivamente” sea claro. El método de citar los elementos de un conjunto entre corchetes se llama frecuentemente la notación en lista.
1.3 Relaciones entre conjuntos3
1.3.1 Contenencia: Sean A y B conjuntos. A es un subconjunto de B si cadaelemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos. En símbolos tenemos que,
 Si y solamente si 
Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A.
 Ejemplo:
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* El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir, 
* En el sistema de los números reales se tienen las siguientes...