Conjuntos

Apuntes de Matem´tica Discreta
a
2. Operaciones con Conjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre de 2004
a

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii

Lecci´n 2
o

Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

16

Intersecci´n . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

16

2.1.3

Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.4

Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.5
2.2

Uni´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o2.1.2

Diferencia Sim´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

17

Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.3

LeyesAsociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.4

Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.5

Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.6

Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232.2.7

Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.8
2.3

Leyes Idempotentes

2.2.2

Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1
2.4

Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
o

29

Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.1

n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.2

Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.3

Producto cartesiano . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.4

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Introduciremos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo
de conjuntos ya conocidos. A y B ser´n dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U .
a

2.1

Definiciones

Definiremoslas principales operaciones entre conjuntos.
15

Universidad de C´diz
a

2.1.1

Departamento de Matem´ticas
a

Uni´n
o

La uni´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
o
o a B. Se nota A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
La disyunci´n, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.
o

2.1.2

Intersecci´no

La intersecci´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
o
a A y a B. Se nota A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si A y B no tienen elementos en com´n, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son
u
conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.1

Sean A, B y C tres conjuntos.

(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), esdecir, A ∩ B es el mayor conjunto que
contiene a A y a B.
(b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto m´s
a
peque˜o que contiene a A y a B.
n
Soluci´n
o
(a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposici´n
o
∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B)
es verdad. Esta proposici´n es equivalente a
o
∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)]...