Conjuntos

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Conjuntos

El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Notación
Es usualdenotar los conjuntos por letras mayúsculas.
A,B,X,Y……

Los elementos de los conjuntos se representan con letras minúsculas.
a,b,c,x,y….

Al definir un conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo el A que consiste en los números 1, 3, 7, 10. Se escribe
A= {1,3,7,10}

Separando los elementos por comas y encerrándolosentre llaves. Esta es la llamada forma tabular de un conjunto, pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos como, por ejemplo, el B, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra. Por lo general x, para representar un elemento cualquiera, y se escribe
B= { x|x es par}

Lo que se lee . Se dice que ésta es la forma de definición porcomprensión de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra principal “|” se lee

Si un objetos es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos, se escribe
X ∈ A

Que se puede leer también> o . Si por el contrario, un objeto x no es el elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe

X ∉ AEs costumbre en los escritos matemáticos poner una linea vertical u oblicua tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo.

Ejemplos

A= {1,3,7,10}
A2= { xıx -3x-2=0}
A3= {a, e, i, o, u}
A4= {x|x es una persona que habita en la tierra}
A5= {Tomás, Ricardo, Enrique}
A6= {x|x es uun estudiante y x está ausente de la escuela}
A7= {Inglaterra,Francia, Dinamarca}
A8= {x|x es una ciudad capital y x está en Europa}
A9= {2,4,6,8,10…}
A10= {x|x es un río y x está en Estados Unidos}

Operaciones fundamentales con Conjuntos

En la aritmética se suma, se resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna un número x+y llamado suma de x ey, un número x – y llamado diferencia de x e y y un número xy llamado producto de x ey. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números.
En la unión, intersección y diferencia de conjuntos, se van a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B.

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por
A U B
Que se leeIntersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comúnes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por

A ∩ B
Que se lee






Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero no a B.
Se denota ladiferencia de A y B por
A – B

Que se lee> o simplemente

Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y el de A.
Se denota el complemento de A por
A’

Operaciones con conjuntos comparables

Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedadessencillas cuando los conjuntos que se tratan son comparables. Se pueden demostrar los teoremas siguientes.


Teorema 2-1 Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección de A y B es precisamente A. Es decir:
A ⊂ B implica A ∩ B =A

Teorema 2-2 Sea A un subconjunto de B. Entonces la union de Ay B es precisamente B. Es decir:
A ⊂ B implica A ∪ B =B

Teorema 2-3 Sea A un subconjunto...