Conjuntos

Apuntes de Matem´atica Discreta
2. Operaciones con Conjuntos
Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004
Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
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Lecci´on 2
Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Uni´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Intersecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Diferencia Sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17
2.2 Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.8 Leyesde De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Introduciremos las operaciones con conjuntos quenos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo
de conjuntos ya conocidos. A y B ser´an dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U .
2.1 Definiciones
Definiremos las principales operaciones entre conjuntos.
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Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
2.1.1 Uni´on
La uni´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
oa B. Se nota A [ B.
A [ B = {x : x 2 A _ x 2 B} .
La disyunci´on, _, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.
2.1.2 Intersecci´on
La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y a B. Se nota A \ B.
A \ B = {x : x 2 A ^ x 2 B}
Si A y B no tienen elementos en com´un, es decir, si A \ B = ;, entonces diremos queA y B son
conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.1 Sean A, B y C tres conjuntos.
(a) Demostrar que si C _ A y C _ B, entonces C _ (A \ B), es decir, A\B es el mayor conjunto que
contiene a A y a B.
(b) Demostrar que si C _ A y C _ B, entonces C _ (A [ B), es decir, A [ B es el conjunto m´as
peque˜no que contiene a A y a B.
Soluci´on
(a) Supongamos que C _ A y C _ B, entonces la proposici´on
8x(x 2 C =) x 2 A) ^ 8x (x 2 C =) x 2 B)
es verdad. Esta proposici´on es equivalente a
8x [(x 2 C =) x 2 A) ^ (x 2 C =) x 2 B)]
la cual, a su vez, equivale a
8x, [ x 2 C =) (x 2 A ^ x 2 B)]
de aqu´ı que
8x, x 2 C =) x 2 [(A \ B)]
y, por lo tanto,
C _ A \ B
(b) Supongamos que C _ A y que C _ B, y sea x un elemento arbitrario de A [ B entonces,
x 2 (A [ B) () x 2 A _ x 2 B {Definici´on de...