CONJUNTOS

























Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
Defina conjunto.
Clasifique y categorice conjuntos.
Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado.
Obtenga conjunto potencia.
Opere conjuntos.
Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas en un diagrama de Venn.
Resuelvaproblemas planteando conjuntos.

2.1 DEFINICIÓN
Un CONJUNTO es una agrupación bien definida de objetos llamados elementos.

2.2 Notación
Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras del abecedario, en mayúscula.
Podemos referirnos a un conjunto indicando cada uno de sus elementos.
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacernombrando a cada vocal, es decir:

Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por extensión o tabulación.
También podemos referirnos a un conjunto indicando las características de sus elementos.
Ejemplo
Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:

Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por comprensión.
Esto último sehace necesario cuando un conjunto tiene muchos elementos.
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es decir:


Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el símbolo .
Ejemplo
Para decir que la vocal pertenece al conjunto , lo haremos así:


2.3 CARDINALIDAD
Paradenotar al número de elementos de un conjunto , se emplea la simbología
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:

; donde el símbolo (Infinito) denota una cantidad muy grande.

De aquí surgen las siguientes definiciones:
Sea un conjunto. Entonces:
1. es un CONJUNTO FINITO si tiene una cantidad determinada (contable) de elementos. Tiene principio y tiene fin.
2. es unCONJUNTO INFINITO si tiene una cantidad indeterminada (no contable) de elementos. Tiene principio y no tiene fin.
3. Si tiene un sólo elemento se lo llama CONJUNTO UNITARIO.
4. Si no tiene elemento, se dice que es el Conjunto VacÍo. Para este caso se emplea la notación: .

2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
A los conjuntos se los suele representar gráficamente mediante los llamados DIAGRAMA DEVENN.



Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear cualquier otra figura geométrica.

2.5 IGUALDAD
Sean y dos conjuntos. Entonces sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es decir:

Gráficamente, tenemos:



2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS.
Dos conjuntos y son Disyuntos si y sólo si, no tienen elementos en común. Es decir, son conjuntosdiferentes,
Gráficamente tenemos:



2.6 SUBCONJUNTOS
Sean y dos conjuntos. Se dice que es subconjunto de sí y sólo sí los elementos de están contenidos en . Es decir:
Gráficamente tenemos:




Puede ocurrir lo contrario.
Suponga que los elementos de estén contenidos en , en este caso se dice que es subconjunto de . Es decir:
Gráficamente tenemos:




Si se cumpleque , se dice que es SUBCONJUNTO PROPIO de . Y se escribe .
Además se cumple que, para cualquier conjunto :
En este caso a los conjunto y se los denomina SUBCONJUNTO NO PROPIOS.


Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Ejemplo
Sea el conjunto , entonces todos los conjuntos que se pueden formarcon los elementos de , serían:
con cada elemento
con dos elementos
con tres elementos (ya es el conjunto )
y obviamente

Note que: , y que el número total de subconjuntos es . Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto , sería:




2.6.1 CONJUNTO POTENCIA
Sea un conjunto. Entonces el CONJUNTO POTENCIA de ,...