Conjuntos

REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición:
Conjunto es una colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una
totalidad mediante una ley, o sea, una característica común.
Un conjunto se puede definir de dos formas, por extensión o por comprensión.
Por extensión, listando todos los elementos del conjunto:
A:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por comprensión, indicando lacaracterística común de sus elementos:
A: Conjunto de todos los números positivos menores que 10.
Los elementos de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza, objetos, personas,
números, etc. El conjunto vacío, denotado por , es el conjunto que no tiene elementos.
En particular, la Matemática trabaja con conjuntos númericos que se describen a
continuación:
NÚMEROS NATURALES:
Sedenotan con la letra IN y sus elementos son todos los números que utilizamos
para contar, desde el 1 hasta el + (infinito).
NÚMEROS CARDINALES:
Se denotan con la letra IN o y sus elementos son todos los números naturales y además
el cero, iniciando desde el 0 hasta el + (infinito).
NÚMEROS ENTEROS:
Se denotan con la letra Z y sus elementos son todos los números positivos, el cero y
Z
losnúmeros negativos. Este conjunto se extiende desde - (menos infinito) a + (más
infinito).

MATEMÁTICA BÁSICA I y II


NÚMEROS RACIONALES:
También llamados “fracciones” y representan una división del número superior
llamado “numerador” entre el número inferior, llamado “denominador”.

Q
I

Se denota con la letra

y está formado por los números de la forma a donde “a”

b
y “b” sonnúmeros enteros y b  0,
ya que la división entre cero NO ESTÁ DEFINIDA.
Como caso particular de números racionales están los propios números enteros, ya que
cualquier entero “a” se puede expresar de la forma
que

Z  Q
Z
I

a
, de manera que podemos decir
1

. Se lee “el conjunto de los enteros es subconjunto de los racionales”.

Todo número racional puede expresarse como su expansióndecimal, esto es, como el
resultado de dividir el numerador entre el denominador.
Ej:

2 = 2  5 = 0,40
5

La expansión decimal de una fracción puede ser finita como en el ejemplo anterior, o
infinita periódica, cuando uno o varios decimales se repiten infinitamente, como el caso
de

1 = 1  3 = 0,33333333…
3

NÚMEROS IRRACIONALES:
Son todos aquellos números que no se puedenexpresar en forma de una fracción,
conocidos como raíces y cuya expansión decimal es infinita y no periódica. Tal es el
caso del número  (se lee PI) que representa el número de veces que un diámetro cabe
en su respectiva circunferencia.
El conjunto de los números irracionales denota con II y sus elementos son de la forma
n

x

MATEMÁTICA BÁSICA I y II


LOS NÚMEROS REALES
Este conjunto,con el se trabaja más ampliamente en Matemática se denota con IR.
Está integrado por la unión de los Racionales e Irracionales. Este conjunto se extiende
desde - (menos infinito) a + (más infinito).
En los números reales definimos operaciones cuyas propiedades se detallan a
continuación:
PROPIEDAD
Conmutatividad
Asociatividad
Elemento Neutro
Elemento Inverso

SUMA
a+b = b + a
( a +b ) + c = a+ (b + c)
a + 0 = a
a + ( - a) = 0

MULTIPLICACION
a*b = b * a
(a * b) * c = a * ( b * c )
a*1= a
a*

1 = 1
a

( si a  0)

Distributividad
a * ( b+ c )= a * b + a * c
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d
y
ac = bd
Si a = b, entonces a + c = b + c y ac = bc
a*0 = 0
Si ab = 0, entonces a = 0 o bien b = 0
VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de un número real sedenota por  x  y está definido así:
 x  = x , si x  0
Ejemplos:

y

 3 = 3

 x

= - x , si x < 0
 -8  = 8

Se debe notar que el Valor Absoluto NO ES UN CAMBIO DE SIGNO. Si el número es
mayor o igual a cero el signo NO CAMBIA. Si es un número negativo, el signo SÍ
CAMBIA.
Si hay una operación dentro de las barras del Valor Absoluto, se resuelve primero la
operación y...