Conjuntos

Liceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno.
.
Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora María del Rosario Quintans 1

TEORÍA DE CONJUNTOS
CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Cuando decimos: "un elemento pertenece a un conjunto"
estamos utilizando tres conceptos primitivos: elemento,
conjunto y pertenencia. Un concepto primitivo es un
concepto que no se define.
Si a es un elementodel conjunto A se denota con la
relación de pertenencia: a ∈ A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota
a ∉ A.
Ejemplos de conjuntos:
∅: el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los númeroscomplejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión o enumeración, esto
es nombrando todos y cada uno de
sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es
la propiedad o condición que los
caracteriza.
Axioma: Un conjunto A está determinado cuando, dado un
elemento cualquiera x, es posible decidir si pertenece o no
al conjunto.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre paréntesisllaves a sus elementos, si se define por extensión y, si se
define por comprensión, entre paréntesis llaves se indica
la propiedad que caracteriza a sus elementos. Por ejemplo:
A = {1,2,3, ... ,n}
B = {p: p ∈ Z ∧ p es par}

1

.

2

Se dice que A está contenido en B (también que A es un
subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota:
A ⊆ B, si todo elemento de A lo estambién de B, es decir,
∀a se cumple que a ∈ A y a ∈ B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B,
si simultáneamente A ⊂ B y B ⊂ A; esto equivale a decir
que tienen los mismos elementos (o también la misma
propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se demuestra: ∅ ⊂ A y A ⊂ A.
A es un subconjunto propio de B, o una parte propia de B,
si A ⊂ B y A ≠ B. Esto es, ∀a ∈ A ⇒ a∈ B y ∃ b ∈ B / b ∉ A. y se
denota: A ⊂ B.
Cuando en determinado contexto se consideran siempre
conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar
al conjunto U como conjunto universal o de referencia.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno
dado A se llama familia de partes de A y se denota P(A).
Entonces, la relación B ⊂ A es equivalente a decir que
B∈ P(A).Ejemplos:
Si A = {a, b} entonces

P(A) = {∅ ,{a},{b},{a, b}}.

Si a ∈ A entonces {a} ∈ P(A).
El número de subconjuntos de un conjunto A, es 2n; siendo
n el número de elementos del conjunto A. ¿Cuál es el número
de elementos del conjunto P(A)?
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado
por objetos que son elementos de A ó de B, este conjunto seexpresa: A ∪ B = { x | x ∈ A y/ó x ∈ B}.
Ejemplo:

Sean los conjuntos

A = {a, b, c, d, e, f} y

B = {a, h, j}.
A ∪ B es el conjunto {a, b, c, d, e, f, h, j}.

2

.

3
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto
formado por objetos que son elementos de A y de B, este
conjunto se expresa: A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.
Ejemplo: 1) Sean los conjuntos A ={a, b, c, d, e, f} yB = {a, h, j}. A ∩ B = {a}.
2) C = { d, e, f, g, h} y D = {p, q, r} entonces
C ∩ D = {}. Si la intersección de dos conjuntos es el
conjunto vacío diremos que los conjuntos son disjuntos.
PROPIEDADES
1.2.3.4.5.6.7.-

Idempotencia
A ∪ A = A
Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A
Asociativa
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Neutro
A ∪ ∅ = A
Absorción
A ∪ (A ∩ B) = A
Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)∩ (A ∪ C)
Complementariedad
A ∪ A' = U

PROPIEDADES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

–
-

UNION

Idempotencia
A
Conmutativa
A
Asociativa
A
Neutro
A
Absorción
A
Distributiva
A
Complementariedad

INTERSECCIÓN
∩
∩
∩
∩
∩
∩

A =
B =
( B
∅ =
( A
( B
A ∩

A
B ∩
∩ C
A
∪ B
∪ C
A' =

A
) = ( A ∩ B ) ∩ C
) = A
) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
∅

Dados dos...