Conjuntos

Un conjunto es la reunion en un todo de objetos de nuestra intuicion o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unos de los otros.
Georg Cantor (1845-1918)
El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem´aticas modernas. La mayor´ıa de los
matem´aticos creen que es posible expresar todas las matem´aticas en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos.
Nuestrointer´es en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´aticas como a su
utilidad en la modelizaci´on e investigaci´on de problemas en la inform´atica.
Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor1. Despu´es de que la
teor´ıa de conjuntos se estableciera como un ´area bien definida de las matem´aticas, aparecieron contradicciones
o paradojasen la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones
m´as sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ıa de conjuntos se
ocupa, generalmente, de la teor´ıa elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor.
Utilizaremos esta aproximaci´on m´as simple y desarrollaremos una teor´ıa de conjuntos de la cual es posible1Georg Cantor. Matem´atico alem´an de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu´es de estudiar en Alemania,
fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´o numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el
creador de la Teor´ıa de los conjuntos.
1
Intuitivamente, un conjunto es cualquier colecci´on de objetos que pueda tratarse como una entidad.
A cada objeto de lacolecci´on lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.
Determinaci´on por Comprensi´on
Se dice que un conjunto est´a definido por comprensi´on cuando se especifica una propiedad que caracteriza
a todos los elementos del mismo.
Esta propiedad o especificaci´on impl´ıcita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable
libre. El conjunto estar´a determinado por aquellos elementosdel universo que hacen del predicado una
proposici´on verdadera. De aqu´ı que si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto
A = {x : p(x)}
denota al conjunto A tal que a 2 A si, y s´olo si p(a) es verdad.

Z: Conjunto de los n´umeros enteros.
N = Z+: Conjunto de los n´umeros naturales o enteros positivos.
Z0+ : Conjunto de los enteros no negativos.
Q: Conjunto de los n´umerosracionales.
R: Conjunto de los n´umeros reales.
C: Conjunto de los n´umeros complejos.

2.1.1 CONJUNTO UNIVERSO

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Porotro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así.

(a, b, c…x, y, z)

2.1.1 CONJUNTO VACIO

    • Elconjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un conjunto vacío").
    • El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:
[pic]
    • El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito :
[pic]
2.1.2 numeros naturales,enteros, racionales, reales, e imaginarios.

NUMEROS NATURALES
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Entre los...