Conjuntos

Álgebra Superior

Operadores lógicos
La negación de una proposición es falsa si ésta es verdadera
y verdadera si es falsa.
P

¬P

V

F

F

V

La conjunción, denotada por P  Q

PQ

PQ

F

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

Operadores lógicos
Q

PQ

F

F

F

F

V

V

V

F

V

V

La disyunción, denotada por P  Q

PV

V

P

La implicación, denotada por P  Q

Q

PQ

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

Operadores lógicos
La bicondicional se define como P  Q, la cual se lee“P si
y solo si Q”.
La bicondicional es verdadera cuando P y Q son verdaderas
o falsas simultáneamente.
Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos
valores de verdad.
Teorema 1.1. SeanP y Q proposiciones para las cuales P 
Q es siempre verdadera. Entonces P y Q son equivalentes. Y
viceversa.

Operadores lógicos
Una tautología es una proposición que siempre es verdadera yla contradicción es aquella que siempre es falsa.
Las proposiciones que contienen variables se les llama
proposiciones abiertas.
Una frase abierta o función proposicional es una
proposición quecontiene una variable.
Se denota por P(x).
La colección de objetos que pueden ser sustituidos por una
variable en una frase abierta se llama conjunto de significados
de esa variable.

Operadoreslógicos
Se definen también los cuantificadores universal y
existencial: “para todo x, P(x)” se denota por  x P(x) y
“existe x tal que P(x)” como  x P(x).
Teorema 1.2. ( x P(x)) es equivalente a x P(x).

Si P(x) es una frase abierta, entonces un contra ejemplo para
 x P(x) es un elemento, t, del conjunto de significados de
forma que P(t) sea falsa.

Operadores lógicos
DemostraciónConsidere un conjunto finito de individuos a1, a2,... an,  x P(x) es
verdadero si P(a1), P(a2),... P(an), son verdaderos, o sea

 x P(x)  P(a1)  P(a2) ... P(an)
Por otro lado
 x...