conjuntos

Apuntes de Matem´atica Discreta
2. Operaciones con Conjuntos

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

ii

Lecci´
on 2

Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1

2.2

2.3

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1

Uni´
on . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2

Intersecci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.3

Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.4

Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.5Diferencia Sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1

Leyes Idempotentes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202.2.3

Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.4

Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.5

Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.6

Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

23

2.2.7

Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.8

Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1
2.4

15

Definici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

29

Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.1

n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.2

Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.3

Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.4

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Introduciremos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo
de conjuntos ya conocidos. A y B ser´
an dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U .

2.1

Definiciones

Definiremos lasprincipales operaciones entre conjuntos.
15

Universidad de C´
adiz

2.1.1

Departamento de Matem´
aticas

Uni´
on

La uni´
on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
o a B. Se nota A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
La disyunci´
on, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.

2.1.2

Intersecci´
onLa intersecci´
on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y a B. Se nota A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si A y B no tienen elementos en com´
un, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son
conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.1

Sean A, B y C tres conjuntos.

(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩B es el mayor conjunto que
contiene a A y a B.
(b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto m´as
peque˜
no que contiene a A y a B.
Soluci´on
(a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposici´on
∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B)
es verdad. Esta proposici´
on es equivalente a
∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)]
la cual, a...