CONJUNTOS

Cap´ıtulo 1

Conjuntos
Definiremos un conjunto como una proposici´on que se hace verdadera s´olo
con aquellos argumentos que se llaman sus elementos.
Los conjuntos se denotar´an con letras may´
usculas del alfabeto latino y
griego.
A, Ω, B, Λ, C, ...
De esta manera, si la proposici´on P define al conjunto A, entonces lo
denotaremos
A = {x | x satisface P }
o
A = {lista de todos los elementos xque satisfacen P }
´
DEFINICION.
Se dice que un argumento x pertenece a un conjunto
A si hace verdadera la proposici´
on que define al conjunto, o cualquier
proposici´
on equivalente.
Para denotar que esto se cumple, lo hacemos mediante la expresi´on
x∈A
Cada vez que se plantea un problema mediante una proposici´on P , es
necesario encontrar un conjunto A cuyos elementos hagan verdadera laproposici´on P , lo que confirmar´a una equivalencia entre la definici´on del
conjunto con la soluci´on del problema.
´
DEFINICION.
Decimos que el conjunto S es un subconjunto del conjunto Ω si la proposici´on P que define al conjunto S implica a la proposici´on
R que define al conjunto Ω.
P

=⇒

R

10

Conjuntos

Esto se denota con la expresi´on S ⊂ Ω.
´
DEFINICION.
Decimos que dos conjuntos son igualessi las proposiciones que las definen son equivalentes. Esto es, una implica a la otra y
rec´ıprocamente.
Si el conjunto que satisface no tiene elementos se llama vac´ıo y se denota
con el s´ımbolo Ø.
´
DEFINICION.
Dados dos conjuntos arbitrarios A y B se definen las
siguientes operaciones binarias.
a. La uni´
on de A con B, denotada por A ∪ B, mediante
A ∪ B = {x|

x∈A

o

x ∈ B}

donde elconectivo “o” hace referencia a una conjunci´on inclusiva.
b. La intersecci´
on de A con B, denotada por A ∩ B, mediante
A ∩ B = {x|

x∈A

y

x ∈ B}

Para los conjuntos A y B, se define la diferencia A\B como el conjunto
A \ B = {x | x ∈ A

y

x ∈ B}

y se lee “A menos B”.
Generalmente consideramos subconjuntos A ⊂ U , B ⊂ U , de un conjunto U que llamamos conjunto universal.
Dado un conjunto universal Uy A ⊂ U se define el complemento de
A en U , denotado por Ac como
Ac = U \ A
En otras palabras, si A se define por una proposici´on P , el conjunto Ac
est´a definido por la proposici´on negativa de P .
Un conjunto se dice finito si podemos contar a sus elementos.
Definimos la cardinalidad de un conjunto finito A como el n´
umero
(entero) de elementos que contiene. Lo denotamos por n(A).
Para elconjunto vac´ıo Ø se tiene que la cardinalidad es n(Ø) = 0, en
virtud de que no contiene elemento alguno.
Una de la formas m´as simples de visualizar una operaci´on entre conjuntos, es su representaci´on mediante un diagrama de Venn.
Un diagrama de Venn consiste en el trazo de un rect´angulo, el cual
representa a un conjunto universal, y c´ırculos distribuidos adecuadamente

1.1 Conjuntos ysubconjuntos

A

11

U

B

Figura 1.1: Diagrama de Venn
dentro del rect´angulo representando a sus subconjuntos propios, como lo
muestra la figura 1.1.
Si A, B ⊂ U son dos subconjuntos del universal, entonces la intersecci´on
A ∩ B de ellos se representa dentro del diagrama por la parte sombreada
de la figura 1.1.

1.1

Conjuntos y subconjuntos

Determine cu´ales de las proposiciones siguientes sonfalsas y cu´ales son
verdaderas.
1. 3 ∈ {−3, 2, 5}
Es falsa debido a que 3 = −3, 2, 5.
2. 2 ⊂ A = {−2, 2, 5}
Es falsa pues 2 ∈ A como elemento, pero no como subconjunto, es
decir, la notaci´on es err´onea.
3. B = {−4, 0, 2} ⊂ A = {2, −4}
Es falsa en virtud de que x = 0 ∈ B, pero no es un elemento de A.
4. {| − 3|,

√
4} = {3, 2}

Es verdadera ya que | − 3| = 3,

√

4 = 2.

5. {1, 3, 5} ⊂ {0, 1, 2, 3,4, 5}
Es verdadera pues 1, 3, 5 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
6. {−2, 1, 7} = {7, −2, 1}

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Conjuntos
Es falsa debido a que el orden de los elementos no altera a un conjunto

dado.
7. 1 ∈ {−1, 0, 7, 8}
Es falsa pues 1 = −1, 0, 7, 8.
8. A = {0, 5} ⊂ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Es falsa pues 0 ∈ A pero 0 ∈
/ B.
En los ejercicios 9-14 escribe cada conjunto listando sus elementos.
9. A = {y | y

es entero...