Conjuntos

Curso Intensivo de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares (7−07−09)

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TEORÍA DE CONJUNTOS: IDEAS BÁSICAS Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se llama elemento del conjunto. Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a fórmulas de recurrencia o aexpresiones generalistas. Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C…. Los elementos del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}. El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅. Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para aceptar algunas propiedades. Relación de pertenencia Un elemento pertenece a un conjuntocuando es de él. Si el elemento a pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece al conjunto A se escribe p ∉ A. Ejemplos: a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El elemento 7∉ E. b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}. El número 10 ∈ N, pero 3,2 ∉ N. c) De manerainconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que una persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en un edificio”. d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números enteros, racionales y reales, respectivamente. e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números reales menos los números −2 y 3. Subconjuntos Un subconjunto de A escualquier conjunto formado por cualquier número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto ∅ y el mismo A. Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también se lee “B está contenido en A”. Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A. El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A ⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.) Nodebe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A. En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a entre llaves se considera el conjunto unitario {a}. Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.

José María Martínez Mediano

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Un conjunto tiene muchos subconjuntos. Haysubconjuntos con un solo elemento, que podrían llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos con dos elementos; etc. (Puede demostrase que si un conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos de A es 2n, incluyendo el vacío y el mismo A.) La relación de contenido cumple las propiedades siguientes. 1. Si C ⊂ B y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A. 2. Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B. 3. Para todo conjunto A, ∅ ⊂ A.Ejemplos: a) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, algunos subconjuntos de E son: {1}; {6}; {1, 2}; {2, 5}; {2, 4, 6}; {3, 4, 5, 6}; {1, 3, 4, 5, 6} En total, E tiene 26 = 64 subconjuntos. b) En el conjunto de los números reales, los intervalos son subconjuntos de R. Subconjunto complementario de otro Si B es un subconjunto de A, se llama complementario de B (respecto de A), al subconjunto de A formado por loselementos que no son de B. El complementario de un conjunto B se representa mediante alguno de los símbolos Bc, B´ o B . Aquí escribiremos Bc.

El complementario siempre hace referencia a un todo. Luego, el complementario de B es lo que le falta a B para ser todo.
Ejemplos: a) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 5} ⇒ Bc = {1, 3, 4, 6}. El complementario de C = {1, 3, 4, 5, 6} es Cc = {2}.

b) Enel conjunto de los números reales, el complementario de los números positivos es el conjunto formado por todos los números negativos, más el cero. También en R, el complementario del intervalo (1, 3) puede escribirse así: R − (1, 3). Esto no debe confundirse con R − {1, 3}, que sería el complementario de dos números; mientras que R − (1, 3) es el complementario de todos los números mayores que 1...