Conjuntos

LIC. RUTH OLIVA

•En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos
considerada como un objeto en sí.
•Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosas: personas,
números, colores, letras, figuras, etc.
Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro
del conjunto.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil,Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos comparten.
Ejemplo: para los números naturales, si consideramos la
propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número
primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

•Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y
por nada más.
•En particular el orden en el que se representen estos es
irrelevante.•Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica
una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente
idénticos repetidos.
Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}
= {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
= {Violeta, Rojo, Añil, Amarillo, Verde, Naranja, Azul}

Un conjunto se puede expresar por 2formas:
• Forma Tabular o por extensión
• Forma Constructiva o por comprensión
1.POR EXTENSIÓN

2. POR COMPRENSIÓN

1.A = { a, e, i, o, u }

2.A = { x I x es una vocal }

1.B = { 2, 4, 6, 8 }

2.B = { x I x es un número par menor que 10}

1.C = {1, 3, 5, 7, 9 }
2.C = { x I x es un número impar menor que 10 }
1.D = { c, o, n, j, u, t, s }
2.D = { x I x es una letra de la palabra conjuntos }
1.E = { b,c, d, f, g, h, j, . . . }

2.E = { x I x es una consonante }

•Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
•Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante una
serie de operaciones, de manera similar a las operaciones con
números.
•Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no
es posible definirlos en términos de nociones más elementales,
por lo que su estudio puederealizarse de manera informal,
apelando a la intuición y la lógica.

•Por otro lado, son el concepto más fundamental de la
matemática: mediante ellos puede formularse el resto de
objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre
otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de
axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Definición
Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoríade conjuntos,
dio la siguiente definición de conjunto:
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda
multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda
colección de elementos determinados que pueden ser unidos en
una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

Los conjuntos sedenotan por letras mayúsculas.
“Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el
mismo conjunto, A = B ”.

Pertenencia
La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es
un elemento miembro de un conjunto.
Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B, y si no lo es, se
denota por a ∉ B.
Por ejemplo: respecto al conjunto AI anterior, podemos decir:
amarillo ∈ AI , pero
negro ∉AI ,

Subconjuntos
•Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que
contiene algunos de (o quizá todos) los elementos de B:
•Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada
elemento de A es a su vez un elemento de B

Si A es un subconjunto de B, se escribe como A ⊆ B y se dice que
"A está contenido en B". También puede escribirse B ⊇ A, y decirse
que B es un superconjunto de A ytambién "B contiene a A" o "B
incluye a A.
Si A no sólo contiene algunos sino todos los elementos B, A no
sólo es un subconjunto de B, sino que ambos conjuntos son iguales,
A = B.
El otro caso posible es que A contenga algunos pero no todos los
elementos de B: A es un subconjunto de B pero no son iguales.
Se dice entonces que A es un subconjunto propio de B y se denota
A ⊂ B y B ⊃ A.
Ejemplos....