Conjuntos

.ASESORIAS CENTURY

Teoria de conjuntos
Principios básicos
CENTURY PRECEPTORES A.C./J.V.A.

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Teoría elemental de conjuntos Lógica proposicional
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0)

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsacuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo la tabla devalor de la negación es la siguiente: P P’ 1 0 0 1 A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad: Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p p 1 1 0 0 q p q 1 1 0 0 1 0 0 0 q, y se lee "p y q".

Disyunción: es aquella proposición que es verdaderacuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "p o q". p 1 1 0 0 q p q 1 1 0 1 1 1 0 0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. p 1 1 0 0 q p q 1 0 0 1 1 1 0 0Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q". p 1 1 0 0 q p q 1 1 0 0 1 1 0 1

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p entonces q". p1 1 0 0 q p q 1 1 0 0 1 0 0 1

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'. Una paradoja esuna proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p= "la proposición p es falsa". Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p q es una tautología.Por ejemplo, las proposiciones:

p y q'

q

p'

son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.

Teoría de Conjuntos
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidosy diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. Ejemplos de conjuntos: A. En caso

: el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales.R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:
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por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

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Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define...