Conjuntos

CONJUNTOS – LENGUAJE SIMBÓLICO

Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura de por ejemplo un diario, o en el trabajo está presente la idea de conjunto. En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una colección de objetos. Al igual que en la vida diaria, la matemática necesita de uncierto lenguaje para poder darse a entender. El objeto de esta sección es ir adaptándonos un poco a dicho lenguaje.
Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves.
• Diremos que un conjunto está definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo forman.
• Un conjunto está definido por comprensión si establecemos unapropiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplo:
El conjunto de las notas musicales se escribe:
Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.
Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.

Observación: “x / x” se lee “x tal que x”.

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonoscerrados, dentro de los cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto.
En el ejemplo:

Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no al conjunto.

• Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del año} ¿M está bien definido? Si es así, ¿cuáles son sus elementos?

• .Si consideramos el siguienteconjunto: M = {x / x es alto} ¿M está bien definido? ¿Por qué?

Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:
- que a pertenece al conjunto S. En símbolos: a  S.
- que b no pertenece a S. En símbolos: b S.

Actividad
Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante diagramas de Venn.
A = {x / x es un número entero positivo dedos cifras iguales}

B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6}

Responder: ¿555  A? ¿–33  B? ¿33  A? ¿33  B? ¿45  B? ¿Por qué?

Observación: Existen conjuntos que no tienen elementos, los cuales se llaman conjuntos vacíos.
Por ejemplo: F = {x / x es un día de la semana que empieza con r}.

Para expresar que el conjunto es vacío, escribimos F = {} o bien F= .

Relaciones entre Conjuntos

DEFINICIÓN: Un conjunto A está incluido en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a A, pertenece también a B. En símbolos:
A

Observaciones:
- A  B se lee “A está incluido en B”
-  se lee “si y solamente si”
- x se lee “para todo x”
-  se lee “entonces”

Ejemplo:
Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}:
Decimos que B  A ya que todoelemento de B está en A.
Gráficamente:

DEFINICIÓN: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A  B y B  A, es decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En símbolos:
A = B  A  B y B  A

Actividad:
Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL}
C = {x / x es una letra de la palabra CITA}
L = {x / x es una letra de la palabra LA}
A = {x/ x es una letra de la palabra ALA}

Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones y qué igualdades se verifican.

Notemos que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto.
En símbolos:   A, A conjunto.

• ¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo? ¿Por qué?.............................................................................................................................................
Operaciones entre Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos den como resultado otro conjunto. A continuación, veremos algunas de ellas:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos “A intersección B” al conjunto formado por todos los elementos...